● 摘要
声子晶体是由弹性介质周期分布组成的具有弹性波带隙的结构或功能材料。当弹性波（声波）在其中传播时，受内部周期性结构的作用，会产生弹性波的带隙，带隙范围内的弹性波将被禁止。声子晶体因其独特的带隙、局域、声聚焦、负折射等特性，使其在减振隔振、噪声控制、声功能器件等方面有着广阔的应用前景。
在减振隔振降噪等应用领域中，小尺寸、低频（几十赫兹乃至几赫兹甚至更低）器件的实现一直是个难题。本文前面部分主要研究变截面声子晶体的带隙特性，研究发现，相比于等截面结构的声子晶体，变截面结构的声子晶体具有更宽的带宽、更低的带隙频率及带隙内更好的衰减性能。文章的后面部分则主要研究变截面声子晶体的能带结构与功率超声中结构的谐振频率之间的关系，为功率超声中复杂结构谐振频率的计算提供了一种新的思路。本文主要的研究内容及结果包括：
（1）介绍了一维声子晶体能带计算的几种常用方法。与传输矩阵法比较，分析了集中质量法的收敛性。
（2）基于集中质量法的思想，将一维沙漏状圆锥形变截面声子晶体简化成无限周期的弹簧振子结构，同时推导了纵波在其中传播时带隙结构计算的表达式。
（3）结合集中质量法和时域有限差分法，推导了纵波在准一维指数形变截面声子晶体中传播时的频率响应函数。
（4）截面半径对声子晶体带隙的影响。对于一维沙漏状变截面的声子晶体，截面半径相差越大，对带隙的影响也就越大，带隙的起始频率更低，截止频率更高，有利于带宽的增加和向低频方向移动。对于准一维变截面声子晶体，输出端半径的增大也会引起带隙起始频率的降低和截止频率的升高，利于带隙宽度的增加和带隙向低频方向移动，反之，带宽将减小带隙向高频方向移动。在两者的截面半径比相同时，沙漏状结构能够获得更宽的带宽和更低的带隙频率。
（5）截面半径对带隙内衰减性能的影响。有限元及时域有限差分法的分析结果表明，通过改变截面半径，本文所研究的声子晶体能实现频率响应曲线在带隙内频响值的减小。比较文中所研究的两种结构，沙漏状的结构在带隙内有着更小的频响值，即衰减性能更好。对于等截面的声子晶体，一般通过增加元胞的个数来提高带隙内的衰减性能。而本文提出了另外一种提高带隙内衰减性能的方法——改变截面半径比，这为声子晶体在实际应用时提高衰减性能提供了一种新的方法。
（6）晶格常数对带隙的影响。晶格常数对等截面和变截面声子晶体带隙的影响基本相同，晶格常数的增加有利于带隙向低频方向移动但带宽将减小。变截面结构带隙起始频率稍小，截止频率稍高，带宽更宽。
（7）材料组份比对带隙的影响。准一维变截面结构与等截面结构的声子晶体随着材料组份比的改变，带隙的变化基本相同；而沙漏状的结构，材料组份比和带隙间的关系更为复杂。等截面声子晶体中一种材料所占的比重接近于0或者1时，带宽将趋近于零，而对于变截面声子晶体，带宽将趋于一个非零值。
（8）材料参数对带隙的影响。固定一种材料时，对另一种材料的密度（或杨氏模量）远大于（或远小于）这种材料时进行讨论，结果表明：对于等截面和变截面的声子晶体，材料参数对它们的影响相同。
（9）对于变截面的细棒，可将其看成是一种特殊的变截面声子晶体，即该声子晶体中只含一种材料。通过比较集中质量法计算得到的能带结构、有限元法得到的频响曲线和谐振频率方程得到的谐振频率三者间的关系，发现对于沙漏状的变截面杆，第奇数条带隙的起始频率与晶胞自由边界条件时奇数阶的谐振频率相等，而第偶数条带隙的截止频率则与晶胞的偶数阶谐振频率相等。
等截面声子晶体和变截面声子晶体带隙特性间的差异可这样解释：首先，由于截面半径的改变，等效集中参数发生了变化，等效集中参数的改变引起了带隙频率的变化。其次，变截面的声子晶体也可看成是一种特殊的多组元等截面声子晶体，其材料参数随位置发生变化，而材料参数的改变必定会引起带隙频率的改变。最后，声波在介质中传播时，体积速度是连续的，截面半径的增大将引起质点振动速度的减小，振动的位移也随之减小，因此对于准一维有限周期变截面的声子晶体，频率响应曲线将向下移动，引起带隙特性的改变。
对于锯齿状结构，由于晶胞端面处位移振幅不能满足周期性的边界条件，因此晶胞的谐振频率不在色散曲线上，带隙的起始频率或截止频率与结构的谐振频率间没有对应关系。
最后，我们希望文本的研究有助于声子晶体在减振隔振降噪的方面的应用及功率超声中复杂结构的变幅杆及工具杆谐振频率计算中的应用。
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