● 摘要
上个世纪20年代，芬兰数学家Nevanlinna R.建立了著名的亚纯函数第一和第二基本定理，奠定了近代函数值分布论的理论基础，被称之为Nevanlinna理论．它的研究成果不仅对亚纯函数本身有重要的理论意义，而且对于数学的其他分支也产生了重大影响．之后不久，Valiron G.、Ullrich E.、Selberg H.~等数学家分别对代数体函数建立了相当于亚纯函数Nevanlinna理论的基本定理，开创了代数体函数值分布论的研究．关于函数正规族和唯一性的研究有着很长的历史．在亚纯函数的正规族方面，上个世纪初，Montel P.首先引进了正规族的概念，Nevanlinna理论的产生极大地推动了正规族理论的发展，逐渐形成了复分析的一个重要研究领域．亚纯函数的唯一性的研究开始于1929年．Nevanlinna R.证明了著名的五值定理和四值定理，开创了函数唯一性理论的研究，如今已经发展成为一个十分活跃的研究方向．代数体函数唯一性的研究，则是由Valiron G.首先开展的.由于代数体函数的多值性和它的分支点的复杂性，目前结果比较少．本文中，我们主要使用Nevanlinna理论，Zalcman引理和基本不等式来研究涉及分担值和分担函数的亚纯函数的正规族，涉及微分多项式的亚纯函数的唯一性，以及代数体函数的唯一性等内容．本文共分六章．第一章是引言和预备知识，我们主要介绍相关研究背景、亚纯函数值分布论和代数体函数值分布论的一些基本概念和记号、以及亚纯函数正规族和唯一性和代数体函数唯一性方面的一些基本定理．在第二章中，我们主要从分担值的角度研究了亚纯函数的正规族．通过对亚纯函数的一种微分多项式形式的讨论及对反向分担的研究，我们得到了两个新的正规定则，分别扩展了张庆彩和常建明的有关结果．在第三章中，我们主要从分担函数的角度研究了亚纯函数的正规族．分担函数是较分担值更为一般的情况，因此对其研究更加困难．我们应用函数高阶求导和因式分解相结合的方法，通过对函数零点和极点系数和次数的精细估计，证明了亚纯函数族中任一函数对的高阶导数分担解析函数情况下的正规定则，把张庆彩、李运通和顾永兴等人关于亚纯函数导数分担值的有关结果推广到高阶导数分担解析函数的较一般情形．在第四章中，我们主要研究涉及Bloch原理的亚纯（解析）函数正规族，证明了对于一族在区域D内的亚纯（解析）函数$mathcal{F}$，在满足一定的零点条件，以及对任意一对$(f,g)in mathcal{F}$，$f(f^{(k)})^n$和$g(g^{(k)})^n$IM分担一个解析函数的情况下的正规性定则；进而研究了具有高阶导数的集值的正规族问题，得到了新的Lahiri型正规族定理，并给出了Bloch原理的逆的一个反例．在第五章中，我们主要研究了亚纯函数的唯一性，把Dyavanal R. S.关于亚纯函数的两个唯一性定理中的CM分担值改进为IM分担值，部分地回答了Dyavanal R. S.提出的一个开问题.在第六章中，我们主要对代数体函数的唯一性进行了一些研究．通过对分支点和分担值的讨论，得到了关于代数体函数和它的导数分担值的一个唯一性定理．