● 摘要
信号处理往往结合信号在多个空间表达中的特点来寻找最有利的处理方法，时域信号在多个空间中得表达通过变换来完成。正交基变换就是一直常用且重要的变换方法，例如傅里叶变换不管在信号处理的早期，还是在新技术新方法层出不穷的现今。能够在现代计算机上计算离散信号傅里叶变换的快速傅里叶变换算法也被称为改变世界的经典算法之一。但随着信息时代信息的膨胀，更大规模的信号数据催生着更简洁的信号表达方法，更快的空间变换算法。对基于过完备字典集的稀疏信号表达方法的研究诞生了稀疏信号表示理论。其虽然能够简洁的表达信号，但这种信号表示无法提高类似的傅里叶分析方法，很多经典的信号处理方法无法继续使用。相比之下，傅里叶变换因其具有一些特殊性而无法被替代。为寻求更快的傅里叶变换方法，同时也利用稀疏信号表示理论，对稀疏傅里叶变换，稀疏傅里叶频谱表达方法的探索也由此展开。
本文基于信号处理基本的理论，以及离散傅里叶变换基础，结合最近几年稀疏傅里叶变换算法取得的重大突破，寻找一种适用于二维离散信号的稀疏傅里叶变换方法，希望通过该方法，能够简洁高效的得到二维信号的稀疏频谱，而不需要计算二维离散傅里叶变换。并且，在某些信号处理应用中，能够使用信号的稀疏频谱表达作为信号处理的输入，利用其稀疏的性质来削减输入规模，达到降维的目的。
本文首先研究了现有的较为完善和实用的一维稀疏傅里叶算法和一种稀疏信号表示求解方法。在此基础上，改进了一种现有的理想二维严格稀疏傅里叶变换方法，突破了其对一些理想情形的假设约束。在探索对二维图像信号的稀疏频谱表达方法中，借鉴了该改进理想方法的一些稀疏频谱计算策略，并结合图像频谱的分布特性，设计了一种针对图像噪声频谱的稀疏表达计算方法，该方法能够使用少数采样信号来快速高效的计算图像的稀疏频谱表达，突破了快速傅里叶变换的最低频率采样率。在对多种类型图像的实验中，所有稀疏频谱表达图像和源图像的结构相似度都在80%以上，大部分稀疏频谱表达图像的结构相似度高于95%。对于较大的图像，计算稀疏频谱的性能也优于快速傅里叶变换。
最后，本文列举了本文研究的参与的两个系统应用，并表现出了较好的成果。期望对于图像稀疏频谱的研究会给数字图像处理带来新的生命。