题目：双正交小波的提升分解的研究

由于小波的成功应用，数学分析和信号处理领域引入了许多构造小波的方法。Wim Sweldens提出的提升格式就是小波构造方法之一。提升格式从时域的角度来构造小波，基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波滤波器。它是建立小波分解的一种非常灵活的工具。提升格式可以构造二代小波，也就是利用提升将小波变换分解成有限步的提升过程，将第一代小波变换映射到第二代小波变换。提升格式是小波变换的另一种实现方法，但信号经过变换后的特性取决于信号本身的特性和所用的小波函数。另外，二代小波在解决边界、非均匀采样、复杂曲面等传统小波没办法解决或很难解决的问题时具有极大的优越性。
传统小波滤波器的多相矩阵可以分解为多个矩阵的乘积。这些矩阵可以看作是预测算子和更新算子。用提升格式实现小波滤波的一个重要的优点是它把滤波器问题分解为一些基本的步骤，不仅其中每一步都是可逆的，并且逆变换非常简单。本文着重讨论了空间中双正交小波滤波器的提升格式及小波的提升分解。本文中引用的结论大都是此方面的经典结论。他们代表了此领域的研究水平和发展方向。在此基础之上，本文作者推广了部分结果，同时也给出了一些新的结果。本文共分三章。
第一章是绪论。本章第一部分综述了小波分析的产生与发展，第二部分介绍了小波分析中的重要概念——多分辨分析的概念及其性质。第三部分介绍了小波分解与重构算法，便于与后面的提升分解与重构算法进行比较。所以列出了此结论。最后阐述了本文的主要工作。
第二章首先说明了提升格式提出的必要性及其优点，然后介绍了有关小波的提升格式的理论。小波的提升格式是小波构造方法之一。提升格式可以构造第二代小波，也就是利用提升将小波变换分解成有限步的提升过程，将第一代小波变换映射到第二代小波变换。而且所有能够用 Mallat 算法实现的小波变换都可以用提升格式来实现，并且算法更快，更简洁。提升格式的基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波。接着又介绍了自适应的小波提升格式的设计方法。最后总结了基于提升格式的小波变换方法的四大优点。
第三章第一部分介绍了双正交多分辨分析的概念与性质。第二部分介绍了双正交小波滤波器的多相位矩阵。并介绍了利用 Laurent 多项式的 Euclid 算法对双正交小波滤波器的多相位矩阵进行因子分解。第三部分通过双正交小波滤波器的多相位矩阵的因子分解，给出小波变换的提升实现算法即其提升格式，并以双正交对称紧支撑小波为例，把小波分解变换与重构变换表示成提升步骤的形式。对任意有限长度滤波器，多相位矩阵的因子分解提供了确定小波变换提升步骤的一种简单方法。但这种分解存在极大的不唯一性。由于正交小波所对应的低通滤波器系数不满足对称性，即不存在线性相位，这一点在图象处理中受到较大限制。而双正交小波滤波器系数可以是对称的，因此具有线性相位。