● 摘要
谱方法是一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值解法。相对于目前较多采用的有限容积法(Finite Volume Method)、有限元法(Finite Element Method)、有限差分法(Finite Difference Method)等，谱方法(Spectral Method)的求解误差随节点数增加呈指数降低，而不是前面几种方法的线性降低。 Sine-Gordon方程是一个重要的数学物理方程。已被用来描述晶格位错的传播，磁性晶体的Bloch壁运动，沿类脂膜的扩张波的传播，基本粒子的统一理论，Josephson线中的磁通量的传播。此为，在负常曲率曲面的研究中也引出了Sine-Gordon方程。通常求解Sine-Gordon方程解析解的方法是利用它的Backlund变换(BT)和Darboux变换(DT)。但求BT和DT是一项不容易的工作，且只能用于求解一些较简单的情形，所以有关Sine-Gordon方程的数值解法越来越引起人们的重视。 本文分别用Legendre和Fourier多项式作为基函数讨论了广义Sine-Gordon方程的谱方法和拟谱方法。构造了相应的半离散和全离散谱及拟谱格式，并通过误差估计证明了相应离散格式的收敛性。最后本文给出了相应的数值算例。从结果来看，这些格式具有较高的收敛速度和收敛阶。