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一、计算题

1． 证明:如果某消费者对商品X 1和商品X 2的效用函数为:

则对该消费者来说，商品X 1和商品X 2之间存在完全替代的特性。

【答案】完全替代品是指消费者愿意以固定比例用一种商品替代另一种商品。在完全替代情况下，商品的边际替代率MRS 为非零常数，无差异曲线是一条直线。存在完全替代时，消费者对商品相对价格的变动非常敏感，一般会购买价格较低的那种商品。

商品的边际替代率可以表示为:

根据已知的效用函数可知，商品X 1、商品X 2的边际效用分别为:

因此，该消费者消费商品X 1、商品X 2的边际替代率为:

由于商品X 1、商品X 2的边际替代率为1，因此对该消费者来说，商品X 1和商品X 2之间存在完全替代的特性。 2． A 公司和B 公司是家电行业的两个竞争者，它们的产品需求曲线分别为:A 公司:P A =1000-5QA ; B 公司:P B =1600-4QB 。A , B 公司目前销售量分别为100个单位和250个单位。求:

（1）这两家公司当前的点价格弹性?

（2）B 公司实施降价策略使其销售量增加到300个单位，但A 公司销售量降到75个单位，那么A 公司产品的交叉需求弹性为多少?

【答案】（1）当A 公司销售量为100个单位时，由需求函数可得:只=1000-5×100=500，将相应的价格一需求量组合代入需求价格点弹性计算公式，可得:

同理可得B 公司当前的点价格弹性为:

即A 公司和B 公司当前的点价格弹性分别为1和0.6。

（2）B 公司要使其销售量增加到300个单位，则新的价格水平P B ′=1600-4×300=400，即ΔP B =PB ′-P B =400-600=﹣200。则可得A 公司产品的交叉需求弹性为:

即公司产品的交叉需求弹性为0.75。

3． 已知某厂商的长期生产函数

，其中Q 为每月产量，A 、B 、C 为每月投入的

，P B =9（元），P C =8（元）三种生产要素，其价格分别为P A =1（元）。

（1）推导该厂商的长期总成本函数、长期平均成本函数和长期边际成本函数。

（2）在短期内，要素C 为固定生产要素，A 与B 是可变要素，推导出该厂商的短期总成本函数、均成本函数、短期平均可变成本函数和短期边际成本函数。

P B =9元，P C =8元，【答案】（1）根据生产要素价格P A =1元，可得长期总成本方程LTC=A+9B+8C，的长期总成本函数就是求解如下数学规划:

构造拉格朗日函数:

其一阶条件为:

求解可得

，代入约束条件，则有:

解得

，代入长期总成本方程，有

即长期总成本函数为:

;

根据长期平均成本函数的定义，可知长期平均成本函数:根据长期边际成本函数定义，可知长期边际成本函数:

（2）在短期内，要素C 为固定要素。厂商成本最小化条件为厂商成本最小化条件

为化条件，可得

。

。

；

。

，根据生产函数，可知生产要素A 的边际产

量

。把有关参数代入成本最小

，生产要素B 的边际产量

代入生产函数可得:求解可得

生产要素A 、B 的表达式代入短期生产成本方程，可得短期总成本函数为:

根据短期平均成本函数的定义，可知短期平均成本函数

根据短期边际成本函数的定义，可知短期边际成本函数:

根据平均可变成本函数的定义，可知平均可变成本函数

4． 假定有n 个古诺寡头厂商，每个厂商有相同的不变单位生产成本是

，其中p 是市场价格，

定其他企业的产量，然后选择产量q i ，以便最大化利润头数量n 的变化而变化? 为什么? 【答案】厂商i 的利润函数为:

利润最大化的一阶条件为:

市场处于均衡状态时，每个厂商的产量相等，即求解可得寡头i 的均衡产量市场的均衡产量

，均衡产量对寡头数量的导数为

均衡价格对寡头数

，解得

，因此

，市场的反需求函数

是总需求量，a 是大于c 的常数。每个厂商i 的策略是给

。求古诺均衡产量和价格如何随寡

把均衡产量代入需求函数，

可得市场的均衡价格量的导数为

。