● 摘要
小波分析是一个迅速发展起来的新的数学学科, 它同时具有深刻的理论和广
泛的应用两重意义. 学者们关于传统的小波分析的理论和应用的研究已经相当成
熟, 但是Daubechies 发现并证明除了Haar 小波以外不存在单小波同时具有正交
性、对称性和紧支撑性. 为了解决这类问题, Goodman 在1994 年将单小波推广到
了多小波, 即用多个函数的伸缩和平移形成L2 (R) 空间的基底, 从而将小波的紧支
撑性、正交性、对称性等性质进行了很好的融合, 但是在实际运用中发现单小波和
多小波的应用都有其局限性. 于是杨守志和谢长珍等人在2006 年提出了双向加细
方程的概念, 并引入了双向尺度函数和对应的双向小波等内容, 进而得到了一系
列具有良好性质和应用价值的理论和结果. 双向尺度方程是加细方程的推广, 在
双向尺度函数的基础上可以得到具有良好性质的双向小波, 因此双向小波的研究
成为了小波分析发展的新的热点问题.
本文首先介绍了小波分析的来源和发展以及双向小波的产生和研究现状, 随
后给出了以m 为伸缩因子的双向尺度函数、双向多分辨分析和相应的双向小波的
概念, 研究了m 尺度双向加细函数和m 尺度双向小波在对称与反对称时应满足的
条件, 给出了一种如何利用正交尺度函数构造双向正交尺度函数和正交双向小波
的方法, 并给出了具体的算例. 在此基础上讨论了m 尺度的正交的双向小波的快
速分解和重构算法, 从而将更多的有关尺度函数和相应小波的处理思想推广到双
向小波的研究上. 随后, 文章讨论了伸缩因子为m 时的双向向量值函数空间和双
向向量值多分辨分析(MRA), 并给出了一种构造正交双向紧支撑的向量值小波函
数的思路. 最后做了简单的总结并提出了一些新的研究问题.