● 摘要
基于图演算和 dagger-对称幺半范畴之间的标准对应，本文给出 qutrit 系统的图演算。该图演算可以极大地简化量子信息领域的推导过程。本文以有限维希尔伯特空间范畴为研究基础，对比 qubit ZX 图演算给出了 qutrit ZX 图演算的生成元和演算规则。ZX 图演算作为一种新颖而又直观的数学方法，可以用来描述和分析量子秘密分享协议。本文使用 ZX 图演算刻画分析了 qutrit (2,3) 阈方案和 qutrit 量子态三方分享方案，并证明了这两个方案的正确性。
本文首先介绍了范畴的基本知识，逐步引入了幺半结构、对称结构、dagger 结构以及紧致结构。在这些结构的基础上，我们描述了两个相互作用的可观测结构，给出了无偏点、经典点、对偶子等概念。然后我们给出了包括常用的交换门、模 3 加 1、模3 加 2、ω 和 ω 门在内的 qutrit ZX 图演算的生成图元，刻画了蜘蛛形所代表的线性映射。进一步我们导出了 qutrit ZX 图演算的 14 条规则，其中包括 Hopf 法则，双代数交换规则，余乘交换规则和蜘蛛形规则等重要规则。
在 qutrit ZX 图演算的应用部分，我们首先给出了 qutrit (2,3) 阈方案中编码映射、恢复操作以及量子态分享成功的图表示，并用图演算证明了编码映射和恢复操作的图表示的复合等于量子态分享成功的图表示。其次我们给出了 qutrit 量子态三方分享方案在平凡与非平凡两种指定测量结果下的图表示，并且证明了初始状态经过两次测量会将秘密 qutrit 量子态传递给 Charlie。这两个证明过程显示出图演算比传统的希尔伯特空间中的公式运算更简洁直观。同时与量子电路语言描述相比，图演算又具有可化简的优势。