● 摘要
区域的单叶性内径是单叶函数, 拟共形映射与万有Teichumuller空间中的核心问题之一, 许多问题的研究与此密切相关. 本文主要综述了近年来有关单叶性内径的研究进展, 并利用近年来在单叶性内径的研究中所用的Pre-Schwarz导数研究了区域之间的距离. 论文共分三章． 第一章为绪论，介绍了拟共形映射理论的发展背景和当今主要的研究方向，并根据文章的需要，给出了拟共形映射理论的相关概念，如拟共形映射的定义，Teichmüller空间的相关基础知识, 区域的单叶性内径的几何意义和拟共形扩张等. 第二章主要综述了近年来Schwarz导数、Pre-Schwarz导数以及单叶性内径问题研究的最新进展. 本章前半部分介绍了Nehari, Ahlfors, Lehto等的工作、用Schwarz导数刻画的单叶性内径下界的估计公式: Ahlfors-Lehto公式, 以及单位圆, 上半平面, 角域等区域的Schwarz导数的单叶性内径的精确值. 本章后半部分介绍了与Ahlfors-Lehto公式相对应的用Pre-Schwarz导数刻画的单叶性内径的下界估计公式, 并介绍了相关应用, 即应用它可以获得角域和强星像区域Pre-Schwarz导数单叶性内径的下界估计. 第三章对Lehto提出的一个问题进行了相关的讨论. Lehto曾用Schwarz导数定义了边界多于一点的两个单连通区域的Mobius等价类之间的“距离”, 并猜测它是一个度量. 但Bozin和Markovic否定了这一猜想. 一个自然的问题就是：在Pre-Schwarz导数意义下相应情况如何? 本章首先利用Pre-Schwarz导数给出了边界多于一点的两个单连通区域的仿射等价类之间的“距离”,并证明了这样定义的距离是一个伪距离, 即使将其限制在由具有解析边界的单连通区域的仿射等价类空间上也是如此.