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一、简答题

1． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

2． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

依题意

理论根据：电矩m 矩阵元

3． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

4． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

5． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

6． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

7． 写出泡利矩阵。 【答案】

8． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

二、计算题

9． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

也属于正幂次级数，故有定态方程

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

则

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

其中C 为归一化常数。

10．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

11．一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度；

相比，相差一

式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

（2）若给此转子施加以微扰已知：

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

12．—质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。

【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为

显然为非简并态。

微扰为故

由

故激发态的一级近似能量为

二级修正能量

其中试利用一阶微扰理论计算第n 激发