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一、简答题

1． 试写出M/M/1排队系统的Little 公式。

【答案】M/M/1排队系统的Little 公式为

2． 在线性规划的灵敏度分析中，当基变量的价值系数变化后，最优表中哪些数据会发生变化，怎样变化。

【答案】基变量的价值系数变化后，可能会引起伏表中基变量检验数的变化。 设Cr 是基变量Xr 的系数。因

，当Cr 变化△Cr ，时，就引起C B 的变化，这时有:

可见，当Cr 变化成△Cr 后，最终表中的检验数是:

3． 用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解? 当出现退化解时如何处理?

【答案】当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。

当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某个 格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-l）个。

4． 试简述求解整数规划模型的分枝定界法剪枝的几种情况。

【答案】（l ）某枝已经达到其范围内的最优解; （2）某枝域内没有可行解时，即是不可行域; （3）某枝所得数据不优于当前最优解时。

二、证明题

5． 证明:矩阵对策G={S1，S 2; A}在混合策略意义下有解的充要条件是:存在

为函数以

的一个鞍点，即对一切

【答案】（l ）先证明充分性 对任意X , Y 均有

，故得出

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，

使

，有

又所以，

另一方便，对任何X ，Y 有

②

由不等式①、②

，

（2）再证必要性。设有X*，Y*，使得

则由

，有

所以对任意X ，Y ，有

综上得证。

6． 在M/M/1/N/∞模型中，如

，试证

① ，所以得

应为，于是。

【答案】系统在t 时刻的顾客数N （t ）仍是一生灭过程，且有

当t=+∞时，由系统的稳定状态概率可得

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7． 假设线性规划问题为:

其中

，秩

运用单纯形算法求得的最优基可行解时，所有的非基变量检验数全都<0，试证明这时所得到的最优解必定 是线性规划问题（l ）的准最优解。

【答案】一般情况下，经过迭代后解变为

再将上式代入目标函数式，整理后得到

令于是

再令则

时，此时的解就为最优解。

这样当所有非基变量的检验数即

8． 己知九个人v 1，v 2，…，v 9中v 1和两个人握过手，v 2和v 3各和四个人握过手，v 4，v 5，v 6，v 7各和五个人握过手，v 8，v 9各和六个人握过手，证明这九个人一定可以找出三人互相握过手。

【答案】该问题可表述为一个包含9个点（每个人代表一个点）的图的问题。依题意知 d （v l ）=2，d （v 2）=d（v 3）=4，d （v 4）=d（v 5）=d（v 6）=d（v 7）=5，d （v 8）=d（v 9）=6 其中，边v i ，v j 代表v i 和v j 握过手。对于v 9，因为d （v 9）=6，所以v 4，v 5，v 6，v 7中至少有两个点与v 9之间 存在连线，设该两点为v 4和v 5。假设与v 4和与v 9相连的其他五点之间无边，

则

，与已知的 d （v 4）=5相矛盾，故假设不成立。即v 4与上述五点间必存在至少

两条边，设其中一点为v k ，则v k ，v 4，v 9两两相连，即存在三人之间互相握过手。

9． 证明:（1）若

（2）若

和

和

是对策G 的两个解，则是对策G 的两个解，则

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。

和

也是对策G 的解。