题目：动力学方程的辛算法和微分求积法

数值计算作为力学研究中最重要手段之一，促进了计算力学的迅速发展。传统的数值算法一直存在相位和幅值的耗散，而哈密尔顿体系下的辛对偶算法解决了幅值耗散的问题，却依然存在相位误差累积。微分求积法(DQM)作为一种高效、高精度的数值算法，在求解微分方程的过程中，有着传统数值算法难以比拟的优势，如何将这种优势利用到动力学的计算中，这就是本文的工作之一。 由于辛对偶算法始终存在着相位误差累积，本文正由此展开了工作：将线性保守动力学系统建立在Hamilton体系中，推导了动力学方程的多种辛差分格式。线性动力学系统相位误差主要由频率和积分步长的乘积决定，并且这是一个线性累加的过程。在系统中，频率越高所引起的单步相位误差越大，而且系统任一个自由度的单步相位误差值都能用一个确定的格式表示。考虑到辛Runge-Kutta法相位滞后，而辛两步法分别相位超前，利用二者的单步相位误差值来改变时间坐标值，可以在低维系统中得到比较精确的数值解。 微分求积法的计算只需要一个时间单元，而只需在单元内部增加节点就能提高精度。由于利用了Lagrange插值，所以N个节点会有N-1阶的精度，这保证了结果的高精度性；而算法在全域内积分无需迭代，这又保证了算法的高效性。由于微分求积法对节点选取的特殊要求，因而文中利用了两种处理初始条件的方法，并通过相互之间以及与其他算法之间的比较，说明了微分求积法的优越性及应用前景。