2018年上海交通大学生物医学工程学院(含Med-X研究院)829电磁学和量子力学量子力学导论考研强化五套模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
2． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
二、计算题
3． —自旋中的矩阵为
（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数
的粒子的哈密顿算符
为实常数。
确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求
和
的几率。 时波函数为
其中
及能量£
、动量
已知
时，
其中，
，
在表象
（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知
是的本征值
与自旋的平均值：【答案】（1
）
本征方程
为
的本征函数，求任意时刻的波函数
若
设
即需
解
方程有非零解，则必有
可得：
因此：
任意时刻，因为
时刻，
且：
故：
的几率为：
的几率为：（2）容易证明，
时刻，粒子的空间波函数为
的本征态，对应本征值为
故：
4． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。
因此：
图
【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为
【积分未完成】
式中此即所求表达式.
5． 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例
如
就是它们的共同本征态，本征值皆为
6． 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有
又在边界处应该满足连续条件故
由归一化条件有故对应能量为
7． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，
将
用
【答案】利用于是
可得即
和E. ，表出，其中
是能量本征值为E. ，的本征矢。
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.
相互不对易，
但
三、综合分析题
8．
（2）在
为的二本征态，本征值分别为
之间的关系为：）下，求的平均值
要求
的平均值
的任何本征态（比如
之关系，
由于
（1）证明：矩阵元【答案】（1）由题意
，
三者构成封闭的对易关系，故容易计算。
即：