● 摘要
线性方程组Ax=b的求解, 常用的解法有直接法和迭代法两种, 直接法顾名思义, 而迭代法则是一种不断用变量的旧值递推新值的循环过程, 继而得到相对简单的方程从而求解. 一般我们会选择直接法对方程进行求解, 但当遇到复杂问题时, 特别是未知量较多时, 直接法就失去其有效性, 而迭代法就成为解决这类大型线性方程(组)的一种最有效的方法.
目前研究的迭代法主要有Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, AOR, SIP, PE, 不完全分解法等迭代法. 迭代法研究的关键在于迭代方法的收敛性及收敛速度. 不收敛的迭代格式没有什么研究价值, 而收敛速度较慢的迭代法必然会被收敛速度较快的迭代法取代. 因此选择合适的迭代方法以及确定迭代格式中涉及到的某些参数的范围使得迭代收敛性达到最优. 另外, 迭代法的收敛性与线性方程组系数矩阵的性质有密不可分的联系, 例如当系数矩阵为M阵, H阵, L阵, 非负矩阵, 循环矩阵, 不可约矩阵等等, 随着矩阵性质的不同, 迭代法的研究也会有不同的限制.
本文主要研究的是在线性方程组的系数矩阵为2-循环系数矩阵的大条件下, 当系数矩阵对应的Jacobi迭代矩阵的特征值的平方为纯虚数时, 对称MSOR迭代收敛法的充分条件. 章节结构和具体内容安排如下:
第1章: 绪论. 本章给出了文章中将要用到的一些基本概念；
第2章: 2-循环系数矩阵对称MSOR迭代法的介绍及2-循环系数矩阵对称MSOR迭代法基本方程的建立和证明；
第3章: 特殊松弛参数下对称MSOR法收敛的充分条件及一般松弛参数下对称MSOR法收敛的充分条件. 主要讨论松弛参数在不同收敛限制条件下的取值, 使得对称MSOR法收敛；
第4章： 提出一些问题的猜想, 并给出例子证明其有继续研究的价值.