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一、计算题

1． 假定某种产品的生产函数

【答案】成本最小化问题为:

构造拉格朗日函数:

成本最小化的一阶条件为:由上述两式解得:

由上述两室可得：

，此即为产量一定时成本最小化的资本与劳动的组合比例。

，单位资本的价格为20元，单位劳动的价格为5

元，求产量一定时成本最小化的资木与劳动的组合比例。

2． 假设经济中只有A 和B 两个消费者以及X 和Y 两种消费品，消费者A

的效用函数为

, 消费者B 的效用函数

为

，试解:

（1）通过计算来准确画出该经济的埃奇ifs 斯盒状图及其交换契约曲线。

（2）令P X =1，求能够使得二者的消费量达到帕累托最优的P Y ，以及此时A 与B 各自的消费量，X A , Y A ，X B ，Y B 。

【答案】（1）消费者A 的边际替代率消费者B 的边际替代率有:

。

又因为:

整理可得

，同理可得Y B =2XB 。该经济的埃奇握斯盒状图及其交换契约曲线如图所示。

, 所以有:

，

。交换的契约曲线上的点满足

，故

。假设初始禀赋分别

为

埃奇握斯盒状图及其交换契约曲线

（2）由（1）知，二者的消费量达到帕累托最优时。

假设经过市场交易后，均衡时两人拥有的商品的数量组合分别为:

时，

。

同时，消费者A 和消费者B 必须满足各自的预算约束:

联立上述方程式可得:

。

和

。均衡

，当P X =1时，

可得

因此，达到均衡时，消费者A 和B 消费X 商品和Y 商品分别 为:

3． 为什么完全竞争厂商的短期供给曲线是SMC 曲线上等于和高于AVC ，曲线最低点的部分?

，也就是说，厂商供给曲线应该【答案】（1）厂商的供给曲线所反映的函数关系为Q =f（P ）

s

表示在每一个价格水平上厂商所愿意而且能够提供的产量。

完全竞争厂商短期均衡

（2）通过对完全竞争厂商短期均衡的分析，如图所示，SMC 曲线上的各个均衡点，如E 1、E 1、E 3、E 4点，都表示了在每一个相应的价格水平厂商所提供的产量，如当价格为P 1时，厂商的供给量为Q 1；当价格为P 2时，厂商的供给量为Q 2。

于是，可以说，SMC 曲线就是完全竞争厂商的短期供给曲线。但是，这样的表述是欠准确的。考虑到在A VC 曲线最低点以下的SMC 曲线的部分，如图中的E 5点，由于AR

短期供给曲线

（3）需要强调的是，由（2）所得到的完全竞争厂商的短期供给曲线的斜率为正，它表示厂商短期生产的供给量与价格成同方向的变化; 此外，短期供给曲线上的每一点都表示在相应的价格水平下可以给该厂商带来最大利润或最小亏损的最优产量。

4． 已知某垄断竞争厂商的长期成本函数为LTC=0.001Q3-0.51Q 2+200Q; 如果该产品的生产集团内的所有厂商都按相同的比例调整价格，那么，每个厂商的份额需求曲线（或实际需求曲线）为P=238-O.5Q。求：

（1）该厂商长期均衡时的产量与价格。

（2）该厂商长期均衡时主观需求曲线上的需求价格点弹性值（保留整数部分）。 （3）如果该厂商的主观需求曲线是线性的，推导该厂商长期均衡时的主观需求函数。 【答案】（1）由题意可得:

由于在垄断竞争厂商利润最大化的长期均衡时，有LAC=P，于是有:

，此时的价格为:P=238-0.5×200=138。 解得Q=200（舍去负值）

所以，该垄断竞争厂商实现利润最大化长期均衡时的产量Q=200，价格P=138。 （2）将Q=200代入长期边际成本LMC 函数，得:

因为厂商实现长期利润最大化时必有MR=LMC，所以，亦有MR=116。 再根据公式

，有

，解得e d ≈6a 所以，厂商长期均衡时主观需

求d 曲线上的需求价格点弹性约为6。

（3）令该厂商的线性的主观需求d 曲线的函数形式为P=A-BQ，其中，A 表示该线性需求d 曲线的纵截距，-B 表示斜率。下面，分别求A 值与B 值。

根据线性需求曲线点弹性的几何意义，有

，其中，P 表示线性需求d 曲线上某一点

，得:

所对应的价格水平。于是，在该厂商实现长期均衡时，由

解得:A=161。

此外，根据几何意义，在该厂商实现长期均衡时， 线性主观需求d 曲线的斜率的绝对值可以表示为:

于是，该垄断竞争厂商实现长期均衡时的线性主观需求函数为:

5． 设某企业的生产函数为Q （K , L ）=5KL，其中投入要素L 的价格为10单位，投入要素K 的价格为2单位，若产品售价为10单位且有市场需求时，试分别求出当投入要素受约束和不受约束

**

情况下的最优投入量L 、K （当投入要素受约束时可只给出求解的式子）。

【答案】企业的利润函数为

（1）投入要素受约束情况下的最优投入量

投入要素受约束时，假设约束为企业的可支配收入W ，则有:

。

拉格朗日函数为:

利润最大化的一阶条件:

①②③由①②③式可得:

。

（2）投入要素不受约束情况下的最优投入量

其一阶条件为:

**

由④⑤式可得:L =0.04, K =0.02。

6． 已知某完全竞争的成本递增行业的长期供给函数LS=5500+300P。试求:

（1）当市场需求函数为D=8000-200P时，市场的长期均衡价格和均衡产量;

（2）当市场需求增加，市场需求函数为D=10000-200P时，市场长期均衡价格和均衡产量; ，说明市场需求变动对成本递增行业的长期均衡价格和均衡产量的影响。（3）比较（1）、（2）【答案】（1）市场长期均衡时，供给量应等于需求量，即有:

5500+300P=-8000-200P 解得:P e =5。

将均衡价格P e =5代入市场需求函数或长期供给函数，求得均衡产量Q e =7000。 即市场长期均衡价格和产量分别为P e =5和Q e =7000。 （2）市场需求增加，长期需求函数变为D=10000-200P。

均衡时应满足LS=D，即5500+300P=1000-200P，求得:P=9，进而求得均衡产量为Q=8200。 即市场长期均衡价格和产量分别为P=9和Q=8200。

（3）比较（1）（2）可得:对于完全竞争的成本递增行业而言，市场需求的变动小仅会引起行业长期均衡价格的同方向变动，还同时引起行业均衡产量的同方向变动。市场需求增加，长期均衡价格上升，均衡产量增加; 反之，市场需求减少，长期均衡价格下降，均衡产量减少。

7． 某垄断企业的平均成本函数为价格。

，其面临的需求曲线为，其中Q 为产量P

（1）试求该企业利润最大时的价格和产量是多少? 最大利润是多少?

（2）如果政府对消费者购买的每单位产品征收10元税收，新的产量、价格和利润名为多少?

【答案】（1）根据需求函数Q=300-2P可得反需求函数P=150-0.5Q，则该企业的利润函数为:

利润最大化的一阶条件为:此时价格为:P=150-0.5Q=100; 最大利润为

。

（2）政府对消费者每单位产品征收10元税收后，厂商边际成本MC=50+10=60。根据利润最大化条件MC=MR可得60=150-Q，解得均衡产量和价格分别为Q=90, P=105，利润为

。

，解得Q=100。

一、计算题

1． 已知某垄断厂商的短期成本函数为TC=0.6Q2+3Q+2，反需求函数为P=8-0.4Q。求:

（1）该厂商实现利润最大化时的产量、价格、收益和利润。 （2）该厂商实现收益最大化时的产量、价格、收益和利润。 （3）比较（1）和（2）的结果。

【答案】（1）由已知可得厂商的利润函数为:

利润最大化的一阶条件为:

解得:Q=2.5。

将Q=2.5代入反需求函数P=8-0.4Q，得此时价格为P=7。 收益为:利润为

（2）由已知条件可得总收益函数为:

收益最大化的一阶条件为:

解得Q=10。且

此时有:价格为P=8-0.4Q=4; 收益利润为

即该厂商的亏损量为52。

（3）通过（1）和（2）可知:将该垄断厂商实现利润最人化的结果与实现收益最大化的结果，相比较，该厂商实现利润最大化时的产量较低（因为2.5<10，价格较高（因为7>4）收益较少（因，为17.5<40）利润较大（因为4.25>-52）。显然，理性的垄断厂商总是以利润最大化作为生产目标，而不是将收益最大化作为生产目标。追求利润最大化的垄断厂商总是以较高的垄断价格和较低的产量，来获得最大的利润。

。

，所以收益最大化时的产量为Q=10。

。

;

所以，当该垄断厂商实现收益最大化时，其产量Q=10，价格P=4，收益TR=40，利润π=-52，

2． 某消费者的偏好由以下效用函数描述:

商品1和商品2的价格分别为P 1和P 2，消费者的收入为m 。

（1）写出消费者的最大化问题。

（2）求出需求函数x 1（P 1，P 2, m ）和x 2（P 1，P 2, m ）。

，其中lnx 是x 的自然对数。

（3）设价格P 1=P2，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）。

（4）设m=10, P 2=5，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）。

（5）判断商品1和商品2是正常品还是劣等品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。【答案】（1）消费者的最大化问题即在收入约束下，消费者效用最大化。用数学表达式表示为:

（2）消费者的预算线方程:

。

，。

。

由消费者的效用函数，可得出商品x 1和x 2的边际效用，即根据消费者效用最大化的一阶条件将上式代入预算线方程，可得:（3）当价格

时，

，

。 ，可得：

与价格相对应的两种商品的恩格尔曲线如图所示。

P 1=P2=1时两种商品的恩格尔曲线

（4）当m=10，P 2=5商品1的需求函数为:

。商品1的需求曲线如图所示。

商品1的需求曲线

（5）由商品1、商品2的需求函数以及商品的收入弹性可以看出，商品1和商品2都是正常，因此商品1和商品2是无关品，不存在相关关系。 品。根据需求交叉弹性可以得出，

3． 某产品的市场需求曲线为Q=20-P，市场中有n 个生产成本相同的厂商，单个厂商的成本函数

2

为。c=2q+2。问:

（1）若该市场为竞争性市场，市场均衡时的市场价格和单个企业的产量是多少? （2）长期均衡时该市场中最多有多少个厂商?

（3）若该市场为寡头垄断市场，古诺均衡时的市场价格和单个企业的产量是多少?

【答案】（1）在完全竞争市场上，市场均衡条件为P=MC，单个厂商的边际成本为MC=4q，故市场均衡时的价格为P=4q，且单个厂商供给函数为给，即Q=nq，则有：

nq=20-4q

因此，得出

故市场均衡时市场价格为

。

，单个企业的产量为

。

; 又因为市场均衡时，总需求等于总供

（2）竞争性市场长期均衡时每个厂商的利润均为零，即厂商都是在长期平均成本的最低点进行生产。由单个厂商的成本函数为于0，即

。

，即当q=1时，长期平均成本为最小值。此时

。LAC 关于q 求导，并令一阶导数等

解得q=1（负值舍去）。此时

市场价格为P=4q=4，根据市场需求曲线得市场均衡产量为Q=20-P=20-4=16。因此，长期均衡时，该市场中厂商数目为他企业的产量预测为

（家）。

那么它的利润最大化问题为:

（3）若市场上有n 个相同的企业进行古诺竞争，记第i 个企业的产出为q i ，如果企业i 对其

根据利润最大化问题的一阶条件解得企业i 的反应函数为（其中i=1, 2, ……, n ）:

均衡时，每个企业对其他企业的产量预测都等于其实际产量，又因为所有的企业都完全相同，所以均衡时，它们的产量也是相同的，那么①式就变为:

解得:

，所以市场总需求为

，市场价格为

。

4． 设有一居民李四，其效用函数为

（1）该居民的最优消费组合。

x 为食品消费量; y 为其他商品消费量。，其中，

另外，该居民的收入为5000元，二与Y 的价格均为10元，请计算:

（2）若政府提供该居民2000元的食品兑换券，此兑换券只能用于食品消费，则该居民的消费组合有何变化?

【答案】（1）李四的预算约束方程为

根据消费者效用最大化的一阶条件:

其中

，得:

。

将上式代入预算约束方程，可以得到:

。

将边际效用函数和商品价格代入一阶条件，可

（2）政府提2000元的食品兑换券，消费者效用最大化时，食品消费量不能低于200单位。假设政府提供该居民2000元的食品兑换券为2000元现金，此时李四的预算约束方程为:

则李四的最优消费组合为:从李四的最优消费组合可以知道费

单位收入用于食品消费。因此，

，

。即李四不仅消费了2000元的食品兑换券还花

，为政府提供了2000元食品兑换券后的最

优消费组合。

5． 给定博弈，支付矩阵如表所示。

表支付矩阵

（1）该博弈有没有占优策略均衡? （2）找出该博弈的纯策略纳什均衡。 【答案】（1）该博弈没有占优策略均衡。

因为当乙取“左”时，甲认为“上”比“下”好; 当乙取“右”时，甲认为“下”比“上”好。当甲取“上”时，乙认为“左”比“右”好; 当甲取“下”时，乙认为“右”比“左”好。

（2）当甲取“上”时，乙认为“左”比“右”好; 当乙取“左”时，甲认为“上”比“下”好，因此左上的（2，l ）是该博弈的纯策略纳什均衡。

当甲取“下”时，乙认为“右”比“左”好; 当乙取“右”时，甲认为“下”比“上”好，因此右下的（1，2）也是该博弈的纯策略纳什均衡。

6． 甲公司和乙公司生产同类产品，

甲公司的生产函数为

，K 为机器工作时数，L 为劳动工作时数。

（1）如果两个公司所使用的资本与劳动数量相同，哪一个公司生产的产量高?

（2）假定资本投入固定为9小时，而劳动投入不受限制，哪一个公司的劳动边际产量高? 【答案】（1）设两个公司都使用t 单位的资本和劳动，即t=K=L，那么则有: 甲公司的产量为:乙公司的产量为:

。乙公司的生产函

数

，解得

当当当

。因此，可知:

;

，所以两公司产量相同。

，

劳动边际产量

。假定

，劳动边际产

量

，

乙公司的生产函数为

（2）在资本投入固定为9小时的条件下，

甲公司的生产函数

时，甲公司的劳动边际产量大于乙公司的劳动边际产量; 时，甲公司的劳动边际产量等于乙公司的劳动边际产量;

时，甲公司的劳动边际产量小于乙公司的劳动边际产量。

，其中Q

7． 某垄断厂商的短期固定生产成本为3000元，短期边际成本函数

为每月产量（吨）。为使利润最大，该厂商每月生产40吨，获得的利润为1000元。

（1）计算该厂商的边际收益、销售价格和总收益。 （2）计算在利润最大点的需求价格弹性。

（3）假定该厂商面临线性需求函数，请推导出这个函数的具体表现形式。

【答案】（1）垄断厂商短期利润最大化的条件为MR=SMC，利润最大时，产量Q=40，可得边际收益

由短期边际成本函数

。

，固定生产成本3000，可得短期总成本函数

。利润最大时，产量Q=40，则可得短期总成本STC=5400。

总收益为

，即总收益为6400。

由于TR=P×Q , 即6400=P×40，可得P=160。 （2）垄断厂商的定价原则为

（3）根据需求价格弹性公式由于需求函数是线性函数，因此

可得。

，解得

。

，则可得利润最大点的需求价格弹性系数为:

由于已知P=160，Q=40，可得C=360，因此，需求函数为Q=360-2P。

一、计算题

1． 假定效用函数为U=q0.5+2M, q 为消费的商品量，M 为收入。求:

（1）需求函数; （2）反需求函数;

（3）P=0.05，q=25时的消费者剩余。 【答案】（1）由效用函数可得:由效用函数可得:

此即为货币的边际效用λ。

，此即为该商品给消费者带来的边际效用MU 。

，即有

：

，整理可得需求函数

根据消费者效用最大化的均衡条件为:

。

（2）由需求函数可得反需求函数为:（3）消费者剩余

。

。

2． 公司正在考虑建造一个工厂，现有两个方案，方案A 的短期生产成本函

数

，方案B 的短期生产成本函数

（2）如果选择方案A ，市场需求量至少为多少?

（3）如果公司己经采用两个方案分别建造一个工厂，且市场对其产品的需求量相当大。公司是否必须使用这两个工厂? 如果计划产量为16个单位，厂商应如何在两个工厂之间分配产量，以使总成本最低?

【答案】（1）厂商选择方案的原则是最小化生产总成本，当产量使得厂商就会选择方案B 。

代入成本函数可得

（2）如果厂商要选择方案A ，则有解得

，解得，即:

。

由于市场需求量为9.98，小于10，因此厂商应选择方案B 。

，故若选择方案A ，那么市场需求量至少要为10单位。

;

;

，且

时，

。

（1）如果市场需求量仅有9.98单位产量，厂商应该选择哪个方案?

（3）根据方案A 的成本函数，可知边际成本根据方案B 的成本函数，可知边际成本

当产量满足Q ≥2时，方案A 的边际成本小于方案B 的边际成本，因此当市场需求足够大时，

厂商必须同时使用两个工厂，才能实现最小成本。

在计划产量为16单位的情形下，假设方案A 工厂的产量为Q A ，则方案B 工厂的产量就是16-Q A 。

厂商成本最小化的均衡条件为解得

3． 某消费者消费两种商品X 和Y , 假定无差异曲线在各点斜率的绝对值均为，x 、y 为两种商品的数量。

（1）说明何一种商品的需求数量均不取决于其他另一种商品的价格。 （2）每一种商品的需求的价格弹性均等于1. （3）每一种商品的需求的收入弹性均等于1. （4）每一种商品的恩格尔曲线的形状如何?

【答案】（1）根据题意可得，该消费者在效用最大化均衡点上有:

整理得:

代入预算约束等式

，有:

解得:

代入预算约束等式，得

。

，即有:

，这时厂商的总生产成本最小。

由此可见，X 商品的需求教量与Y 商品的价格P y 无关，Y 商品的需求数量与X 商品的价格P x 无关。

（2）X 商品和Y 商品的需求的价格弹性分别为:

每一种商品的需求的价格弹性均等于1。 （3）X 商品和Y 商品的需求的收入弹性分别为:

每一种商品的需求的收入弹性均等于1。 （4）由X 商品的需求函数由y 商品的需求函数

，可得

，可得

，即x 商品的恩格尔曲线的斜率为

；

，即Y 商品的恩格尔曲线的斜率为。两商品的恩

格尔曲线的斜率均为正的常数。而且，当收入为零时，两商品的需求数量均为零。由此可见，X 和Y 商品的恩格尔曲线均为一条从原点出发且斜率为正的直线，即每一种商品均有一条从原点出发的斜率为正的线性恩格尔曲线。

4． 试构造需求收入弹性为常数的一个需求函数。

【答案】设需求收入弹性为常数K ，根据需求收入弹性公式

K

在方程两边积分，可得1nQ=K1nM，求解可得需求函数为Q=M。

，可得:

5． 试画图从短期边际成本曲线推导长期边际成本曲线，并说明长期边际成本曲线的经济含义。

【答案】（1）长期边际成本（LAC ）表示厂商在长期内增加一单位产量所引起的最低总成本的增量。长期边际成本函数可以写为:

显然，每一产量水平上的LMC 值都是相应的LTC 曲线的斜率。

长期边际成本曲线的推导

如图所示，在每一个产量水平，代表最优生产规模的SAC 曲线都有一条相应的SMC 曲线，每一条SMC 曲线都过相应的SAC 曲线最低点。在Q 1的产量上，生产该产量的最优生产规模由SAC 1曲线和SMC 1曲线所代表，PQ 1既是最优的短期边际成本，相应的短期边际成本由P 点给出，又是长期边际成本，即有LMC=SMC1=PQ1。或者说，在Q 1的产量上，长期边际成本LMC 等于最优生产规模的短期边际成本SMC 1，它们都等于PQ 1的高度。同理，在Q 2的产量上，有LMC=SMC=RQ2 。在Q 3的产量上，有LMC=SMC=SQ3。在生产规模可以无限细分的条件下，

可以得到无数个类似于P 、R 和S 的点，将这些点连结起来便得到一条光滑的长期边际成本LMC 曲线。

（2）经济含义

长期边际成本LMC 曲线的经济含义是:LMC 曲线表示的是与厂商在长期内通过选择最优的生产规模所达到的最低成本相对应的边际成本。

6． 假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1, 2, 3，同时该社会存在着两种商品，分别是x 和y 。经济学家Debreu 对这二个消费者的消费行为进行分析，他认为1, 2, 3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示:

①②③

;

，其中，其中

; 。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集;

（2）假如商品x 和商品y 的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x 和y 的最优消费量;

（3）消费者2和消费者3的偏好是一致的;

（4）现在假设商品x 和商品y 的价格分别是P 1和P 2，消费者2拥有I 单位货币，请计算他的消费选择;

（5）用公式和图像给出消费者3对于x 商品的收入一消费路径。

【答案】（1）根据序数效用理论，无差异曲线是维持效用不变的商品组合的轨迹，偏好的上等值集就是无差异曲线右上方部分。根据消费者1的效用函数，其无差异曲线及上等值集如图所示。

消费者1的无差异曲线及上等值集

（2）消费者1的预算线方程:2x+3y=120。

由消费者1的效用函数，可得出商品x 和y 的边际效用，即MU x =y，MU y =x。 根据消费者效用最大化的一阶条件

，可得：

。

将上式代入预算线方程，可得:x=30, y=20。 即消费者1对x 和y 的最优消费量为（30, 20）。

（3）根据效用函数的性质:效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可得:

令好是一致的。

（4）消费者2的预算线方程:P 1x+P2y=I。

由消费者2的效用函数，可得出商品x 和y 的边际效用，即根据消费者效用最大化的一阶条件将上式代入预算线方程，可得:即消费者2对x 和y 的最优消费量为

，可得:，

，

。 。

。

，

。

，因此

。

。

因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏

（5）消费者3的偏好和消费者2的偏好是一致的，因此消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。

消费者3的恩格尔曲线方程为:的收入一消费路径，如图所示。

，其中x 的价格P 1为常数。恩格尔曲线方程就是x 商品

消费者3对于商品x 的收入—消费路径

7． 小麦是在完全竞争市场上生产的。单个的小麦生产者都具有U 形的长期平均成本曲线; 并且，在产量为1000蒲式耳时，达到最低平均成本每蒲式耳3美元。

（1）如果对小麦的需求曲线为Q D =2600000-200000P，这里，Q D 是每年小麦的需求量，P 是每蒲式耳的价格。那么，在长期均衡时，小麦的价格会如何? 小麦的总需求量会如何? 会有多少个小麦生产者?

（2）假定需求向外移动到Q D =3200000-200000P，如果小麦生产者在短期不能调整其产出，那么，伴随新需求曲线的市场价格会是多少? 典型生产者的利润又会有多大?

（3）在（2）中所描述的需求曲线下，新的长期均衡会是怎样的? （也就是说，请计算在新情况下的市场价格、小麦的产量以及新的均衡的生产者数目。）

【答案】（1）长期内，单个的小麦生产者在长期平均曲线的最低点进行生产，所获利润为零。此时，市场价格为:P=3。

单个厂商的产量为:Q=1000。

小麦总需求量为:Q D =2600000-200000P=2600000-200000x3=2000000。 小麦生产者数目为:

。

（2）由于小麦生产者在短期不能调整其产出，可知此时市场上Q s =2000000。由Q D =QS ，可得市场价格，即

典型生产者的利润:

。

（3）在短期，生产者获得利润，但在长期，由于新厂商的进入，市场的总供给量会增加，最终导致市场再次达到均衡状态，此时，单个厂商的利润为零，仍然在平均成本曲线的最低点进行生产。此时，市场价格:P=3。

单个厂商的产量为:Q=1000。

小麦总需求量为:Q D =3200000-200000P=3200000-200000x3=2600000。 新均衡时小麦生产者的数目为:

。

一、计算题

1． 某厂商所处的产品市场和要素市场上都是完全竞争市场，其短期生产函数为工人的边际产量MP L 等于其平均产量AP L 。请分析:此时该厂商的利润是多少，为什么?

【答案】短期总成本函数为:

厂商的总收益等于其产品价格和产品数量的乘积，即:

则厂商的利润函数为:

。

。

，

要素市场上是完全竞争市场，则厂商使用要素的原则是

，

其中L 是可变生产要素，是固定生产要素，两要素价格分别为P L .P K 。在某产量Q 0处，该厂商

又因为在某产量Q 0处，该厂商工人的边际产量MP L 等于其平均产量AP L ，即:则

厂商的利润为:

2． 已知生产函数Q=min（L ，4K ）。求:

（1）当产量Q=32时，L 与K 值分别是多少?

（2）如果生产要素的价格分别为P L =2，P K =5，则生产100单位产量时的最小成本是多少?

。

【答案】（1）由生产函数的形式可得，Q=min（L ，4K ）是一个里昂惕夫生产函数。由里昂

**惕夫生产函数的性质可得，厂商处于最优生产情形时，Q=L=4K。

**

因此，当产量Q=32时，L =32，K =8。即当产量Q=32时，L 与K 值分别是32和8。 **

（2）当产量Q=100时，最优的要素投入为L =100，K =25。劳动和资本的价格分别为

P L =2, P K =5，所以此时最小成本为:

C min =2×100+5×25=325

即如果生产要素的价格分别为P L =2, P K =5，则生产100单位产量时的最小成本是325。

3． 假设两家厂商A 和B 之间就做广告与不做广告展开博弈，它们的博弈矩阵如表所示。

表广告博弈（百万元）

现假设博弈是可重复的，但只重复5次，两家厂商均采取“以牙还牙”的对策。厂商A 在第一回合不做广告，此时的厂商B 有两种策略:在第一次做广告或不做广告。试分别计算这两种情况下厂商B 的累积利润，并判断厂商B 该采取何种行动。

【答案】在第一回合厂商A 不做广告，如果厂商B 在第一回合做广告，则厂商B 的利润为300; 因为两家厂商均采取“以牙还牙”的对策，所以第二回合厂商A 会对厂商B 的行为进行报复——做广告，此时厂商B 也做广告，利润为100; 在第三、四、五回合里，厂商A 、厂商B 都做广告，因此厂商B 的利润为100。所以，厂商B 的累积利润为300+l00×4=700。

如果厂商B 在第一回合不做广告，则厂商B 的利润为200; 此时，双方选择的都是合作策略，而且此后双方都不会改变策略，所以厂商B 的累积利润为200×5=1000）。因此，厂商B 在一开始就应该采取合作策略—不做广告。

4． 已知币场反需求函数P=100-2Q，成本函数为C=4Q。

（1）两厂商进行古诺竟争，求均衡时两厂商的产量和利润。 （2）两厂商进行伯特兰竞争，求均衡时的产量和利润。

（3）厂商1和厂商2进行斯塔克尔伯格竞争，厂商1是领先者，厂商2是追随者，求均衡时的产量。

（4）两厂商结成卡特尔组织，平分市场，求均衡时的产量和利润; 若厂商2不背叛，厂商1背叛，求各自的产量和利润。

【答案】（1）已知市场反需求函数P=100-2Q，而市场总需求量为厂商1和厂商2需求量之和，即Q=q1+q2，因此P=100-2Q=100-2q1-2q 2，由此厂商1的利润函数为:

利润最大化的必要条件为:

这就是厂商1的反应函数。同理可求得厂商2的反应函数:

求解上面两个反应函数的联立方程，得:

q 1=q2=16 将q 1=q2=16代入到反需求函数，可得价格P=36。 各自的利润为:

π1=Pq1-4q 1=36×16-4×16=512 π2=Pq2-4q 2=36×16-4×16=512

（2）伯特兰竞争均衡就是价格竞争，因为是产品完全相同，所以必然价格相同且等于边际成本，因为边际成本都是4，所以竞争均衡的结果是各自价格都是4，将价格代入反需求函数P=100-2Q中可得总产量为48因此各自产量为24，厂商1和厂商2的利润为:

（3）先将追随者厂商2的产量反应函数q 2=24-0.5q1代入厂商1的利润函数中，得:

由利润最大化的一阶条件得:

代入厂商2的产量反应函数得:

Q 2=24-0.5q1=24-0.5×24=12

此时价格为:

厂商1的利润为：

厂商2的利润为:

（4）若两厂商结成卡特尔组织，平分市场，实际上就构成了垄断。卡特尔组织的利润函数为:

由利润最大化的一阶条件得:

各自平分产量，因此有q 1=q2=12。 此时价格为:

各自利润为:

若厂商2保持合作，厂商1不合作，则厂商2维持低产量12，厂商1根据自己的产量反应函数制定最佳产量，为格为

，市场总产量为

5． 对消费者实行补助有两种方法:一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

【答案】一般来说，发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。分析如下:

发放现金补助，消费者可根据自己的偏好选择自己需要的商品，以获得尽可能大的效用; 而发

，代入反需求函数得产品价

，于是厂商1和厂商2的利润分别为:

放一定数量的实物补助，则可能此实物不是消费者所需要或最需要的，这时，消费者就难以得到最大的满足了。分析如图所示。在图中，MN 线代表实物和其他商品的价格一定时，发放一笔现金补助所形成的预算线。如发实物，该消费者最佳消费点为C 点，消费y 1数量的实物和x 1数量的其他商品，所获效用为U 1; 如发放现金补助让消费者根据偏好自由选购，该消费者最佳消费点为E 点，消费y 2数量的实物和x 2数量的其他商品，所获效用为U 2。可以看出，U 2>U1，即用发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。

实物补助与现金补助

6． 已知某垄断厂商的总成本函数

，产品的需求函数

。

（1）求利润极大时的产品价格、产量和利润。

（2）若政府限定最高售价，以诱使该厂商在这一价格下提供的产量最大。试求这一最高限价以及厂商提供的产量和利润。

【答案】（1）反需求函数为利润极大化的一阶条件为:此时产品价格为

，利润为

，厂商的利润函数为:

，解得:

，即有:

（2）为使垄断厂商产量最大，一般采用边际成本定价法，即

解得均衡产量和价格分别为利润为

7． 已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数

（2）该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量;

。试求:

（1）当市场商品价格为P=100时，厂商实现MR=LMC时的产量、平均成本和利润; （3）当市场的需求函数为Q=660-15P时，行业长期均衡时的厂商数量。 【答案】（1）根据题意，有:

由长期利润最大化的原则

，得:

解得:Q=10（负值舍去）

。又因为平均成本函数代入上式，得:平均成本最小值

最后，利润π=800。

（2）由已知的LTC 函数，可得:

令且

，即有

, 解得Q=6。

。

，所以，将Q=10

。

因此，当市场价格P=100时，厂商实现MR=LMC时的产量Q=10，平均成本LAC=20，利润

，故Q=6是长期平均成本最小化的解。

，得平均成本的最小值为:LAC=62-12×6+40=4。 将Q=6代入LAC （Q ）

由于完全竞争行业长期均衡时的价格等于厂商的最小长期平均成本，所以，该行业长期均衡时的价格P=4, 单个厂商的产量Q=6。

（3）由于完全竞争的成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线，且相应的市场长期均衡价格是固定的，它等于单个厂商的最低长期平均成本，所以，本题的市场长期均衡价格固定为P=4。将P=4代入市场需求函数Q=660-15P，便可以得到市场的长期均衡数量为Q=660-15×4=600。

现已求得在市场实现长期均衡时，市场的均衡数量Q=600，单个厂商的均衡产量Q=6，于是，行业长期均衡时的厂商数量为600÷6=100（家）。

一、计算题

1． 设一个消费者使用两种商品（x , y ）效用函数为

（1）设他的收入为40元，求消费者均衡; （2）求恩格尔曲线。

【答案】（1）当达到消费者均衡时，有

，商品价格P x =5元，P y =3元。

即：

得：5x=9y ① 另可得预算线方程为:

5x+3y=40 ② 联立①②式可得:x=6，

。

即达到消费者均衡时，消费者消费商品x 数量为6个单位，消费商品y 数量为10/3个单位。（2）假设消费者收入为I ，则消费者均衡时，十3y=I，联合可得:

。

，即5x=9y，又根据预算约束线，有5x

恩格尔曲线表不消费者在每一收入水平对某商品的需求量，因此商品x

的恩格尔函数为，相应的商相应的商品x 的恩格尔曲线为一条向右上方延伸的直线; 商品y 的恩格尔函数

为

，相应的商品y 的恩格尔曲线也为一条向右上方延伸的直线。

2． 某垄断厂商生产的边际成本和平均成本均为5单位，即AC=MC=5。该厂面临的市场需求函数为Q （P ）=53-P。

（1）计算该厂商的利润最大化的价格、产量和利润以及垄断所带来的净福利损失。 （2）现假设第二个厂商加入到这个市场，该厂商具有和第一个厂商相同的成本函数。假设两个厂商进行古诺竞争，写出每个厂商最优的反应函数。

（3）找出古诺均衡的产量水平并计算市场的均衡价格以及每个厂商的利润。 【答案】（1）由需求函数可得反需求函数为:P=53-Q。 垄断厂商利润函数可写成:

利润最大化的一阶条件为:

解得:Q=24。

将Q=24代入到反需求函数，可得价格P=53-24=29。

2

利润π=-24+48×24=576。

A 垄断所带来的福利损失等于总福利（即消费者剩余加上垄断厂商的经济利润）的减少，即，显然该三角形的高等于29-5=24，底等于图中阴影三角形面积（称之为纯损三角形或无谓损失）等于48-24=24，因此面积为24×24÷2=288。

垄断的福利损失

（2）两厂商各自利润函数为:

利润最大化的一阶条件为:

即厂商一的反应函数为厂商二的反应函数为

， 。

（3）联立厂商一和厂商二的反应函数求得q 1=q2=16，即为均衡产量。 此时市场总需求为Q=q1+q2=32。所以，P=53-Q=21。 利润为π1=π2=（53-32）×16-5×16=256。

3． 设需求曲线的方程为Q=10-2P，求其点弹性值为多少? 怎样调整价格，可以使总收益增加?

【答案】由需求函数可得需求价格点弹性，即

可以看出，当解得：P=2.5。

时，总收益最大。

即为了保证总收益最大化，应该将价格调整为2.5。

4． 设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的，即为P x 和P y 消费者的收入为M ，和β为常数，且α+β=1。

（1）求该消费者关十商品x 和商品y 的需求函数。

（2）证明当商品x 和y 的价格以及消费者的收入同时变动1个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x 和商品y 的消费支出占消费者收入的份额。

【答案】（1）由消费者的效用函数

，可得:

消费者的顶算约束方程为

。根据消费者效用最大化条件:

得：

，商品x 和商品y 的价格分别

解上述方程组得:。

上式分别为消费者关于商品x 和商品y 的需求函数，其图形如图所示。

商品x 和商品y 的需求曲线

（2）当商品x 和y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为:

，其中λ为一非零常数。

此时消费者效用最大化的均衡条件为：。

由于λ≠0，故方程组化为，与（1）中方程组相同，故其解就是（1）中方程组的

解。这表明消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。

（3）由消费者的需求函数

和

可得:

关系式

的右边正是商品x 的消费支出占消费者收入的份额。关系式

的右边正是

商品y 的消费支出占消费者收入的份额，故结论被证实。

5． 设某人消费商品X 和商品Y 的无差异曲线为，试问:

（1）组合（27, 71）点的斜率是多少? （2）组合（64, 68）点的斜率是多少? （3）MRS xy 是否有递减的性质? 【答案】根据无差异曲线方程（1）当x=27时，由于斜率是

，边际替代率为。 （2）当x=64时，由于斜率是

，边际替代率为。

（3）点（27, 71）的边际替代率为，而点（64，68）的边际替代率为，因而该无差异曲

线存在边际替代率递减的可能性。且由于边际替代率为数为

6． 已知效用函数为

若收入为m ，商品X 和商品Y 的价格分别为p x 、p y ，求: （1）两种商品的需求函数。

（2）当p x =1, p y =2, m=120时，求边际替代率，并求出此时商品X 和商品Y 的需求价格弹性及收入弹性。

, 可知其斜率为，故无差异曲线

。

在（27, 71）点的斜率

，故无差异曲线在（64, 68）点的斜率

，而边际替代率的导

，递减规律。

，所以该无差异曲线存在边际替代率

【答案】（1）消费者效用最大化问题为:

构造拉格朗日函数:

一阶条件为:

联立求解可得商品X 与商品Y 的需求函数分别为:

（2）商品X 对商品Y 的边际替代率为:

商品X 的需求价格弹性为:

商品X 的收入弹性为:

。

, 商品Y 的收入弹性

。

，该

同理，可以得到商品Y 的需求价格弹性

7． 某种产品属于竞争性行业，

其中一个典型厂商的总成本函数为产品的需求函数为

（1）该行业的长期均衡价格。 （2）该行业的均衡厂商数量。

q 是该产品的月产量; Q d 是每月的需求量; P 是单价。。其中，试求:

【答案】（1）竞争性行业长期均衡时，厂商产品销售价格等于长期平均成本最小值，经济利润为零。

由于总成本函数中包含固定成本，因此该总成本函数为短期总成本函数; 在长期，固定成本为零，则其长期总成本函数为

。

根据长期总成本函数，可以得到长期平均成本函数为:

长期平均成本最小化的一阶条件为:

，解得q=l0。

将其代入长期平均成本函数，可以得到长期平均成本的最小值为:

因此该行业的长期均衡价格为0。

（2）把均衡价格代入市场需求函数，可以得到市场均衡数量Q=2500，因此长期均衡时，该行业的厂商数