青岛大学数学基础综合试题2011考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
青岛大学2011年硕士研究生入学考试试题科目代码：880科目名称：数学基础综合(共2页)请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效1. （本题满分10分）求行列式的值：
x +a 1
a 1D n =⋯
a 1a 2x +a 2⋯a 2⋯a n ⋯a n . ⋯⋯⋯x +a n
2. （本题满分20分）设A 为n 阶方阵，满足A 2−3A +2I n =0，其中I n 为n 阶单位矩阵.
（1）证明：r (A −I n ) +r (A −2I n ) =n .
（2）证明：齐次线性方程组(A −I n ) X =0的解空间N (A −I n ) 与A −2I n 的列空间R (A −2I n ) 相等.
3. （本题满分10分）讨论下列线性方程组解的情况：
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1⎪3x +2x +x +x −3x =a ⎪12345. ⎨x +2x +2x +6x =3345⎪2
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4−x 5=b
4. （本题满分15分）设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足A 2=A .令F n 的子空间
W 1={X ∈F n AX =0}，W 2={X ∈F n AX =X }.
证明：F n =W 1⊕W 2，其中⊕表示直和.
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