● 摘要
随着各类数字仪器和数码产品的普及，数字图像处理成为数学方法和计算机技术交叉领域的一门新学科，其中图像平滑一直是这个新学科的研究热点。传统的滤波方法无法解决去除噪声和保持特征这对矛盾，为了解决这一矛盾，人们尝试了各种方法。基于非线性偏微分方程的图像平滑较好的解决了这对矛盾。这类技术采用异性扩散方程，对图像进行选择平滑，是一类很有发展前景的图像平滑方法。本文详细介绍了五个基于非线性偏微分方程的平滑模型，包括他们的形式和控制平滑速度的机理，并给出了实验结果。针对使用P-M模型进行图像去噪不能保持边缘细节，并且对高梯度噪声效果不好的不足，通过修改扩散系数函数：不仅考虑图像的梯度，还考虑图像的二阶导数，并将扩散系数函数中的边缘域值修改为关于时间递减的函数，构造新的用于图像去噪的模型（模型I）。模型I在处理效果上能够保持图像中有意义的尖峰和窄边缘，并且能够在消除高梯度噪声的同时保持边缘。实验结果表明,用该模型处理后的图像具有较高的清晰度，而且有意义的细节也得到保留。通过研究复数域上的扩散模型，针对复扩散模型不能有效控制扩散方向，实部得到的图像边缘不清晰，P-M模型在灰度缓变区内平滑效果不明显，并且容易出现阶梯效应的问题，提出一种复扩散与P-M扩散相结合的去噪新模型II。利用加权组合的方法将两种模型结合起来。该模型在图像灰度平缓部分侧重于复扩散，其余部分用P-M扩散。通过实验，我们发现新的模型II不仅仅很好的消除了噪声，而且在边缘等细节信息的保护上也有很不错的效果。最后，在Schauder不动点理论的基础上，分析了CLMC模型弱解对初值的连续依赖性，并将结论推广到复数域上的扩散模型。