2017年黑龙江大学中俄学院(中俄联合研究生院)750高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
3． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）.
A. 如果B. 如果秩
则则
. 有非零解
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
有惟一解 只有零解
有零解.
则线性方程组（ ）•
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 证明：复数域上方阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式没有重根.
【答案】设若
无重根，则因为
子都是一次的，设为
其中
互异. 令
则
因此，A 与
相似，即A 可对角化.
.
的不变因子
即A 的最小多项式不能有重根.
为标准形，并给出所用的非退化的线性替换.
为
的不变因子，则由定理知，
故每个
是A 的最小多项式.
的初等因
都不能有重根，从而
反之，若A 与对角矩阵相似，则由于对角矩阵的特征矩阵的初等因子都是一次的，故的初等因子也都是一次的. 从而
7． 化二次型
解法2
【答案】解法1 配方法（略）.
的矩阵为
因为
故经非退化的线性替换
化为标准形
8． 已知大线性无关组.
【答案】
由于
又设
的线性组合，又
任给已证明
9． 设
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式.
的秩为r , 证明：中任意r 个线性无关的向量都构成它的一极
的秩为r , 必有一极大线性无关组由r 个向量组成，
不妨设为
是
由定理
是
中的r 个无关的向量线性相关. 由定义13知
中的
，则任一
’
个向量（允许重复）是线性相关的. 任意与它们合成
个向量. 第一段中
的一个极大线性无关组.
是
判断f U）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.