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一、简答题

1． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

2． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

3． 写出泡利矩阵。 【答案】

4． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

5． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

6． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

7．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

8． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）

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的对易关系.

选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

9． 如果算符表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

10．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

二、计算题

11．一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有

又在边界处应该满足连续条件故

由归一化条件有故对应能量为

12．已知

在的本征态下，计算的平均值。

中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

【答案】

13．已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于

故得：

有：

在B 表象中，求出矩阵A 、B 。

由此式求出B 的本征值为0，1。

在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：

设：

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则有：

由③可得：由③可得：由式⑤、⑥可得：示：

由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0, 则:

14．简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

可取

，代入②式，即得B 表象中A 的矩阵表为实数）

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令

式称为测不准关系。 坐标和动量

之间的测不准关系为：

15．已知

分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，

证明

是

的本征态，并就

为电子的总角动量。（）

的共同本征态为相应的本征值。 【答案】

两种情况分别求出其

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