2017年西北师范大学物理与电子工程学院813量子力学(含原子物理)之量子力学教程考研强化模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
2． 厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
3． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
4． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】
5． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）
7． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
时有确定的测值。
8． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
9． 波函数么？
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近
10．反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：
（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；
（3）分裂能级间距与能级有关； （4）由于电子具有自旋。
体积元中粒子出现的几率密度。
二、证明题
11．粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
12．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
所以有：
试证明
的不确定关系
：
三、计算题
13．—个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态
第一激发态
【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：
其中，于是可知能量为
为自旋波函数。 简并度等于
因此相应能量为相应简并度为6。
14．自旋在方向的粒子，磁矩为置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
积分后得：
取t=0时刻的初始条件为则:
式中，
围绕极轴转动，相
由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度
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