2017年沈阳师范大学物理科学与技术学院628量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态 B. 体系必须处于宏观态 C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D
【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.
2． 角动量算符满足的对易关系为【答案】
3． 给出如下对易关系：
【答案】
4． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】
5． 下列算符
【答案】
6． 下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）
.
【答案】A
_____，坐标和动量的对易关系是_____。
为归一化波函数
的可能值为_____
的平均值为_____。
为归一化的球谐函数，则
是线性算符的是_____。
【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为
二、简答题
7． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
8． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
9． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
10．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
11．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
12．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
13．能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
14．什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
15．波函数么？
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。
16．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
三、证明题
17．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
18．（1）设（2）试将【答案】（1）
表示所属的本征函数，则
即是实数。
的线性叠加. 其中为单位算符.
利用
化简可得：
（2）
因为是厄密算符，于是有
与pauli 算符对易，证明
表示成
四、计算题
19．已知
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
为电子的总角动量。（
）
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其
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