2017年四川师范大学物理与电子工程学院826量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、填空题
1． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性 2．
为氢原子的波函数（不考虑自旋），分别称为_____量子
数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。
【答案】主；角；磁；
3． 当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.
【答案】测量的干扰
【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.
4． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。
【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
5． 一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈密顿量H 用N 或【答案】
6． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
则
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
二、证明题
7． 假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
所以
8． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，测量自旋分量的平无值分别为
三、综合分析题
9． 下列函数中哪些是
的本征函数？相应的本征值多少？
【答案】本征方程为（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
故
是故
不是故
故
故
现
的本征函数，本征值为1。 的本征函数。 是
的本征函数，本征值为
的本征函数，本征值是
是
的本征函数，本征值是
10．质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的取值几率分布及平均值。
【答案】作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为：显然，两者相互对易，有共同完整本征函数：
且满足将
向
展开，即：
的状态上，求其动量
与动能
展开系数：
只有当
时
，
利用归一化条件
于是有：
动量的取值几率为：
平均值为：
动能的的取值几率与动量相同，而平均值为：
11．质量为的粒子束被球壳势场散射，
恩近似计 算散射振幅和散射截面。并讨论散射角【答案】散射振幅为：
在高能近似下（即
时的情形。
），用玻
可知，归一化常数为：
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