题目：完备随机度量空间上的Ekeland变分原理及其应用

本文致力于完备随机度量空间上真的、下半连续的、有下界的$ar{L}^{0}$-值函数的Ekeland变分原理的研究. 首先我们建立了$d_{varepsilon,lambda}$-完备随机度量空间上这类函数的Ekeland变分原理的一般形式；进一步建立了两种拓扑即$(varepsilon,lambda)$- 拓扑与局部~$L^{0}$- 凸拓扑下, 完备随机赋范模上具有局部性质的这类函数的Ekeland变分原理的精确形式；而且作为应用, 我们在随机共轭空间的框架下建立了以上两种拓扑下完备随机赋范模上的Bishop-Phelps定理.然后, 在随机赋范模的框架下给出了~$L^{0}$-drop 的定义, 并给出了局部~$L^{0}$- 凸拓扑下完备随机赋范模上的~Drop定理与~Petal 定理且进一步证明了它们与此拓扑下完备随机赋范模上的~Ekeland变分原理是相互等价的；进而, 利用~$(varepsilon,lambda)$- 拓扑与局部~$L^{0}$- 凸拓扑下基本结果之间的联系, 得到了~$(varepsilon,lambda)$- 拓扑下完备随机赋范模上的~Drop 定理与~Petal 定理以及它们与该拓扑下完备随机赋范模上的~Ekeland变分原理之间的等价性.最后, 通过对随机局部凸模层次结构加以分析并结合随机局部凸模上的分离定理, 我们给出了关于随机局部凸模上$ar{L}^{0}$-值函数的次微分的一些良好的基本性质, 其中主要结果如下: 首先, 给出了局部~$L^{0}$- 凸拓扑下两个定义在随机局部凸模上真的、下半连续的、$L^{0}$-凸的、$ar{L}^{0}$-值函数和的次微分公式；再者证明了: 定义在随机局部凸模上$ar{L}^{0}$-值的真的、下半连续的、$L^{0}$-凸函数$f$的所有次可微的点所组成的集合在$(varepsilon,lambda)$-拓扑和局部~$L^{0}$- 凸拓扑下都稠于$dom(f)$.本文分五章:第一章, 简要介绍随机度量理论以及本文的主要研究内容;第二章, 作为预备知识, 回顾随机度量空间、随机局部凸模、随机赋范模、随机共轭空间以及 $(varepsilon,lambda)$-拓扑和局部~$L^{0}$- 凸拓扑等基本概念;第三章, 建立了$d_{varepsilon,lambda}$-完备随机度量空间上Ekeland变分原理的一般形式；进一步建立了两种拓扑下完备随机赋范模上Ekeland变分原理的精确形式；作为应用,建立了两种拓扑下完备随机赋范模上的Bishop-Phelps定理;第四章, 研究了两种拓扑下完备随机赋范模上的~Drop定理与~Petal 定理以及它们与完备随机赋范模上的~Ekeland变分原理之间的等价性;第五章, 给出了随机局部凸模上$ar{L}^{0}$-值函数次微分的一些良好的基本性质.