● 摘要
为了给量子力学建立新的数学模型, C. J. Mulvey在1986年研究非可换C*-代数的谱理论时, 首次提出用一种非可换的二元运算&来代替拓扑空间开集格中的交运算, 并称这种数学结构为Quantale. 1990年 D.Yetter找到了Girard提出的作为理论计算机科学逻辑支持系统的线性逻辑与Quantale理论之间的密切关系, 从此,Quantale理论的研究受到了国内外众多学者的关注.在短短的十几年中有关Quantale理论的大量新的观点及应用不断被揭示. 本文一方面在这些成果的基础上运用Frame理论的研究思想对Quantale理论的一些代数性质和拓扑特征作了进一步的研究, 从而丰富了Quantale理论的内容. 另一方面, 本文从范畴论的角度讨论了作为量子逻辑支持系统的Quantic格的内部结构和范畴性质, 这在一定程度上推广了Quantale理论的内容. 本文的主要内容安排如下:
第一章 预备知识. 本章给出了与本文有关的格论、拓扑学、Quantale理论和范畴论方面的一些概念和结果. 第二章 Quantale中的滤子. 本章首先在双边Quantale中定义了滤子的概念, 给出了Quantale中滤子的一系列等价刻画. 研究了Quantale上的滤子空间的拓扑特征. 得到了Quantale上的滤子空间满足T0分离性的充要条件. 其次, 本章给出了Quantale中素滤子的定义,讨论了Quantale上的对偶素谱空间的拓扑性质. 最后, 本章给出了Quantale上的模糊滤子的概念, 系统地研究了Quantale中的滤子与模糊滤子之间的关系,找到了Quantale态射与模糊滤子之间的内在联系.
第三章 Quantale连通性. 本章把Frame理论中的连通和局部连通的定义推广到了右侧幂等Quantale中, 研究了连通和局部连通Quantale的一系列性质, 找到了Quantale连通的充要条件. 证明了与Frame理论中有关连通性的经典命题相对应的结论在Quantale理论中仍然成立.
第四章 Girard Quantale.本章首先研究了Girard Quantale中的内部结构, 讨论了该结构中各种运算之间的关系, 给出了Girard Quantale的若干等价刻画. 其次,本章对Girard Quantale中的循环对偶元作了系统的研究, 给出了Girard Quantale 中循环对偶元不唯一的实例. 得到了Girard Quantale中循环对偶元唯一的充分条件. 证明了一个Girard Quantale中的循环对偶元之集与满足一定条的一元算子之集是一一对应的.
第五章 Quantic格范畴. Quantic格可以看成是Quantale与Prequantale的一种推广, 它在量子逻辑的研究中有着重要的作用. 本章首先讨论了Quantic格的内部结构, 研究了子Quantic格和商Quantic格的若干性质. 给出了Quantic格同余和Quantic格核映射的定义.证明了一个Quantic格上的全体核映射之集、全体同余关系之集和全体商对象之集是一一对应的. 其次, 本章从范畴论的角度研究了Quantic格范畴的若干性质. 证明了Quantic格范畴有等子、余等子等结论.找到了Quantic格范畴中的极限结构, 从而说明了Quantic格范畴是完备范畴.
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