2017年南开大学数学科学学院845高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
线性无关.
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是的一个特解，所以选C.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设V 是数域P 上一个线性空间，
（1）证明下列集合
是V 上k 个线性函数.
是V 的一个子空间，W 称为线性函数【答案】（1）证明略. （2）
设
是V 的一个子空间.
取
定义
的零化子空间.
（2）证明：V 的任一个子空间皆为某些线性函数的零化子空间.
的一组
基
则
显然任
意
中
故
即
是
的零化子空间.
7． 证明：一个非零复数I 是某一有理系数非零多项式的根必要而且只要存在一个有理系数多项式
设所以只要令
设I 是某一有理系数非零多项式（1）若则于是只要4（2）若
则
由于
由①有
只要令
则由②即有
从而也有
艮P
就有
其中
使得
其中^是有理数
则的根.
且
. 再证必要性.
【答案】先证充分性.
有
中至少有一个
. 于是对这个j 有
若
则
再扩大为V 的一组
基