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一、选择题

1． 设

则3条直线

（其中

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

）交于一点的充要条件是（ ）

.

由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，

从而

可由线性表出. 线性相关，故选D.

2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于

又由方法2:设考虑到

不妨设线性相关.

由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于AB=0, 所以有

即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有

R （A ）

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

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并记A 各列依次为

由于AB=0可推得AB

的第一列

从而

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

【解析】因为当否则有

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

由上述知因此 4．

设

线性相关，所以线性相关，故选A. 是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

于是

【答案】（A ） 5． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

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为空间的两组基，且

由②有

即

二、分析计算题

6． 设

的一子空间记作C （A ）;

（1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成（2）当A=E时，求C （A ）; （3）当

时，求C （A ）的维数和一组基. 【答案】（1）显然C （A ）非空，又是（2）（3）设

中任一矩阵都与E 交换，故

满足BA=AB, 即

则

i , j=l, 2, …，n. 故当

时有

即B 是对角阵. 反之，对角阵也属于C （A ）. 这就其维数为n. 求a. b.

中加法封闭和数量乘法封闭的子集，故构成子空间.

证明了C （A ）是

7． 设

中全体对角阵所成的子空间.

C （A ）的一组基可取

整除

【答案】解法I 直接用整除定义.

因为f 为4次，g 为2次，故商q 必为2次；又因f 与g 的首系数相同，常数项也相同，故商q 的首系数和常数项都必为1. 于是设

比较两端同次项系数，得

由此得

且

得

故应

都整除f.

解法II 利用普通除法并令余式等于零. 用g 去除f , 可得余式于是得因为

且

解法III 利用综合除法.

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