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一、计算题

1． 市场上黄瓜价格P x =3元，西红柿价格P r =4元，张三的收入为50元，其效用函数为U （X.Y ）=（X 2+Y2）的平方根。

（1）根据上述条件计算张三的最大效用;

（2）作出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。

【答案】（1）由题意得预算约束方程为3X+4Y=50。

由效用函数边际替代率:

,

得。

去求

。

可见边际替代率是随着X 的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足）。

此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点一个点

的效用为

，因此张三的最大效用是

。

的效用为

，在另外

（2）张三的无差异曲线和预算线如图所示。

可以看出，无差异曲线是以原点为中心的一条条圆弧，而预算线是一条直线，一条无差异曲线与预算线相切于b 点，而另一条无差异曲线与预算线相交于a 点，b 点是张三效用最小化的那一点，而a 点是张三效用最大化的那一点，不难算出张三的最优组合为果一致。

，这和（1）的结

张三的无差异曲线和预算线

2． 由A 、B 两人及X 、Y 两产品构成的经济中，A ·B 的效用函数分别为的存量为（120，120）。该经济的社会福利函数为

（1）该经济的效用边界。

（2）社会福利最大化时的资源配置。

【答案】（1）根据消费者A 的效用函数，可得消费者A 的x 、Y 两种商品之间的边际替代率为

根据消费者B 的效用函数，可得消费者B 的X 、Y 两种商品之间的边际替代率为

交换达到帕累托最优时，有代入有

, 即有

，可得:

把

代入消费者B 的效用函数可得

从而:

，即经济的效用可能性边界。

代入消费者A 的效用函数，可得

。试求:

根据社会资源察赋，有

（2）把经济的效用可能性边界函数代入该经济的社会福利函数，可以得到:

社会最大化的一阶条件为:

求解可得代入

，代入效用可能性边界可得，可得

。

根据社会资源初始察赋，可

3． 已知，某消费者的效用函数入将均摊于商品X 1, X 2。 【答案】（1）由效用函数

，请给出均衡条件的需求函数，并证明其收

，可得:

由消费者效用最大化的均衡条件可得:

联立①、②、③式可得:数为P 1X 1一P 2X 2=0。

（2）答:设收入为I ，则有:P 1X 1+P2X 2=I。 根据均衡条件的需求函数：

。即该消费者的收入将均摊于商品X 1，X 2。

4． 假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1, 2, 3，同时该社会存在着两种商品，分别是x 和y 。经济学家Debreu 对这二个消费者的消费行为进行分析，他认为1, 2, 3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示:

①②③

;

，其中，其中

; 。

即:P 1X 1一P 2X 2=0。所以，均衡条件的需求函

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集;

（2）假如商品x 和商品y 的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x 和y 的最优消费量;

（3）消费者2和消费者3的偏好是一致的;

（4）现在假设商品x 和商品y 的价格分别是P 1和P 2，消费者2拥有I 单位货币，请计算他的消费选择;

（5）用公式和图像给出消费者3对于x 商品的收入一消费路径。

【答案】（1）根据序数效用理论，无差异曲线是维持效用不变的商品组合的轨迹，偏好的上等值集就是无差异曲线右上方部分。根据消费者1的效用函数，其无差异曲线及上等值集如图所示。