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一、简答题

1． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

2． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

3． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。

5． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

6． 波函数么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

表示在时刻附近

体积元中粒子出现的几率密度。

是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什

7． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

问是否

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

8． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

二、计算题

9． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】

将代回原方程：

即：

所以，因此有：

同理可得：

的本征态

所以在

态中测量

的几率为：

10．两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为

其中c 为

实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：

在稱合表象中，本征函数的编号选为：

哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：

（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。

则可知的本征值为：

依题意可知，初态波函数为：

这样，可以给出t ＞0时体系处的状态

为：

（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：

11．给定

方向的单位矢量：

计算在该态上测量

所得的可能测量值及相应几率。

而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在

为

【答案】（1）

表象中：

表象中的本征态：

的本征值和本征函数。