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一、证明题

1． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

2． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时,

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）.

否则均值不存在）, 当r=2

3． 设总体μ，则

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

为样本，证明，

的无偏估计，设

分别为

是0的任一无偏估计，

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

因而

4． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

【答案】对任意的即

5． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：

【答案】

结论得证.

6． 设

（1）（2）（3）

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

从而

的有效性最差.

则

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

7． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽