● 摘要
自Toeplitz和Hmlsdorff在1918—1919年首先证明了Toeplitz—Hausdorff定理以后，有关数值域、数值半径以及各种广义数值域及其数值域半径的研究变得非常活跃。对它们的研究涉及到了基础数学及应用数学许多不同的分支，诸如算子理论，泛函分析，c~*木一代数，Banach代数，矩阵范数，不等式，数值分析，扰动性理论，矩阵多项式，系统论，量子物理等等，并且在这些分支上面得到了广泛的应用。近年来，为了上述某些数学分支发展的需要，人们在研究分块算子矩阵谱理论的过程中引入了数值域的一个重要推广：二次数值域。我们知道，研究谱理论的一个重要目的就是了解谱的位置特征，通过对比可知，二次数值域较之数值域能够更好地给出所给算子的谱的位置特征，这引起了我们的研究兴趣，本文将着重就二次数值域的相关问题进行较深入地研究，同时我们还提出了一些有待解决的问题，我们认为这些问题是值得大家共同去研究和探讨的。本文的主要内容如下： 第一部分：主要研究了有界线性算子的二次数值域。为了对数值域的本质有更进一步地了解，首先根据Toeplitz-Hallsdorff定理的证明方法，得到了数值域的一个等价刻画：接着引入了二次数值域的定义，从二次数值域的定义我们可以看出，一般说来，在不同的空间分解下，一个算子的二次数值域也会截然不同，但是当所给的两种空间分解有某种关系时，它在这两种空间分解下的二次数值域是相等的。通过对比可知，一个算子的二次数值域比它的数值域能够更好地给出它的谱的位置特征，也许正是由于这个原因，作为数值域的最重要的性质之一的凸性，二次数值域却不具备，甚至有时二次数值域都不是连通的，接下来给出了一个算子的二次数值域不连通需要满足的条件。 第二部分：研究了二次数值域的推广：n次数值域。首先给出了n次数值域的定义，我们发现n次数值域不但具有一系列和二次数值域类似的性质，而且在给定的条件下还有n次数值域包含在二次数值域当中，另外当H是n维Hilbert空间时，它的n次数值域就等于它的谱集，前面的结论促使我们猜想，当H是无限维Hilbert空间时，对H的任意的空间分解D_n∈D，都应该有下面的式子成立：σ(A)=nD_nn∈DW_D~n_n(A)。 第三部分：研究了数值域与算子补问题。首先用一种新的证明方法证明了[17]中的一个数值域的投影扰动定理，同时，我们发现文中所举的一个例子是错误的，通过对这个错误例子的分析，我们得到了一个更一般的结论。其次，受前面的引理的启发，根据一个算子的数值域和它的谱之间的关系，研究了数值域与谱扰动问题，在本章的最后，我们给出了几个证明的改进。