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一、简答题

1． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

2． 波函数【答案】

与

3． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

4． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

依题意

问

是否

是否描述同一状态？

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

二、计算题

5． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

相比，相差一

6． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

也属于正幂次级数，故有定态方程

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

7． 设两个电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是能和u （r ）相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。

则

其中C 为归一化常数。

如果电子之间的库仑

【答案】这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，有：

其中

分别为谐振子第m 、n 个能量本征函数。

（2）当

时，由这两电子组成的体系波函数为：

其中：

8． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势

中运动。

表

（1）当m=n时，由这两电子组成的体系波函数为：

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以