2017年浙江工业大学理学院667量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、简答题
1. 斯特恩—革拉赫实验证明了什么? 【答案】(1)半整数内禀角动量在存在。 (2)空间量子化的事实。
(3)电子自旋磁矩需引入2倍关系。
2. 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
3. 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中,
定义电子的自旋算符,并验证它们
4. 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来,你认为这与什么量子效应有关?
【答案】与量子隧穿效应有关。
5. 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后,所描写的体系量子状态是否改变? 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释,描写体系量子状态的波函数是概率波,由于
粒子必定要在空间中的某一点出现,所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1,因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
6. 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质? 【答案】本征值为实数,本征矢为正交、归一和完备的函数系。
7. 扼要说明:
(1)束缚定态的主要性质。
(2)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
【答案】(1)能量有确定值。力学量(不显含f )的可能测值及概率不随时间改变。 (2)选择定则:
理论根据:电矩m
矩阵元
8. 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子,玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律,玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
9. 什么样的状态是定态,其性质是什么?
【答案】定态是能量取确定值的状态,其性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
10.现有三种能级【答案】一维谐振子.
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱;
对应
对应中心库仑势系统,例如氢原子;
二、证明题
11.设在电子的某自旋态中,测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零,则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中,这自旋态的表示为:
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为:
根据题给条件,有:
由此得:即:
或
这就意味着,此态要么是自旋朝上
要么自旋朝下
即都为自旋分量的本征态。在
这两个本征态中,测量自旋分量的平无值分别为和
12.(1)对于任意的厄米算符,证明其本征值为实数. (2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. (3)对于角动量算符
证明它是厄米算符,并且求解其本征方程.
因为存在
所以
即正交
即本征值为实
【答案】(1)证:对于厄米算符
数
(2)证:因为而(3)因为
所以
具有周期性,
而
所以
设本征方程为
其中为本征值,上式可改写为
易解出即为厄米算符。
C 为积分常数,可由归一化条
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制,
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的,相应本征函
再利用归一化条件可得
三、计算题
13.设基态氢原子处于弱电场中,微扰哈密顿量为(1)求很长时间后
电子跃迁到激发态的概率.
其中 T 为常数。
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