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一、选择题

1． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

2． 下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）

.

【答案】A

【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为

3． （1）【答案】

_____；（2）

与之对应，

若体系处在由波函数

_____。

4． 一维运动中，

哈密顿量【答案】

5． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

分别为物理量本征值及取值概率，而

考虑到正交归一化条件和力学量算符的厄米性，于是

6． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

而

本征值为n ，

于是谐振子能量为

二、简答题

7． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

8． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

9． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

10．写出在【答案】

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

表象中的泡利矩阵。

11．自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

12．已知为一个算符满足如下的两式问何为厄密算符？何为么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

13．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

14．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

15．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

16．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

问

是否

三、证明题

17．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。