● 摘要
黎曼几何中的一个基本问题是：一个给定的微分流形上可以有怎样的曲率？在2维光滑流形 上，本质上唯一的曲率就是高斯曲率，问题就变为 上可以存在怎样的高斯曲率函数。任何满足第二可数公理的 维光滑流形上必定存在对称正定的2阶协变张量场，即黎曼结构。由高斯绝好定理可知高斯曲率是完全由黎曼度量决定的，那么 上至少存在一种高斯曲率。假设 是 上给定的黎曼度量，其决定的高斯曲率为 ，那么存在与 点点保角的度量 以 为高斯曲率吗？ 当 为紧时， 和 对上述问题做了详细地讨论。本文中考虑的是 为开的一种情况： 取 中的 。此时由 的结构方程，以及Gauss Egregium 定理将问题转化为求解椭圆方程 ，其中 ， 为通常的 算子。在前人结果的基础上，作者猜想在 恒为正的时候方程一定有解。考虑 只沿 轴变化的情况，本文通过验证其形如 解的存在性给出了一个有无穷多 解的充分条件： （ ， ）。显然 恒正时方程有解，这就证明了作者猜测的一部分。 中的正则曲面片 如果和 存在保角映射 ，那么可以将其度量拉回 得到特解 以及 的取值。在取复参数时，如果 和欧氏度量下的 存在保角映射，那么映射可以表示为解析函数。因此可以引入复变函数中的单位圆的解析自同构群，考察特解 以及 在其作用下的轨迹。