● 摘要
孤子是流体力学中的一种特殊非线性波动现象，现已发现其在大气、海洋、太空等离子体、光纤通信等领域中普遍存在。就波动性而言，孤子是在某一区域内集中了几乎全部的能量及振幅, 并能在空间给定区域稳定存在的波，而在相互作用时又表现出粒子性。流体力学基本方程组是质量守恒、动量守恒和能量守恒在流体力学中的表现形式，是一个复杂的非线性、多维、耦合偏微分方程组。在流体力学基本方程组的基础上，根据不同的流动特点，采用相应的假设，可将流体力学基本方程组转化为一些相对易于求解的方程。其中有一类方程因为含有非线性项和对“时间”坐标的导数，被称为非线性发展方程。例如Korteweg-de Vries(KdV)类浅水波方程的建立通常要假设波长远大于水深，振幅相对水深却是个小量，弱非线性和弱色散效应接近平衡，粘性效应可以忽略。对这些方程的研究一般有实验、数值、解析三种方法。实验分析的结果可靠，不过往往耗费巨大；数值计算应用广泛，不过往往只能针对个体，且结果需验证比对；在这样的情况下如果能对所研究的问题进行解析分析，是对实验分析和数值计算的有力补充。此外在得到明确表达式的情况下解析方法利于对解的全局特征进行分析。不过解析方法对复杂的问题往往有很大的困难，在现有的手段下对大部分问题都不能解析求解，不过最近若干年来，针对一些特殊问题已经发展出一些方法处理某些非线性问题，如反散射方法、双线性方法、Wronski行列式技术等。所以如何寻求新的解析方法求解更多的方程，或者拓展现有的方法到更多的方程是一项有意义的工作。同时我们将致力于探讨求得的解与方程本身之间的联系。本论文将主要包含以下几方面的内容：第一章简要介绍了孤子在流体力学中的研究背景及意义、其力学特征、流体中的形成机制、孤子理论的发展历史、本文的主要创新工作及安排。第二章讨论了求解流体中非线性方程的一种特殊方法，即双线性法。在面对非线性问题时，如果能够利用积分变换直接求解当然会给我们解决问题带来相当的便利；在不能够直接求解时，如果能将非线性问题转化为线性问题，也是一条思路，毕竟相对非线性问题，人们对线性问题的研究已经有成熟和系统化的手段及经验。有时候非线性问题也很难直接被线性化，但是对于某些情况，我们可以将其``双线性"化，这时方程中的未知量总是成对出现，这是一种非常接近线性化的表达。基于这种双线性形式，利用特征参数展开法，我们可最终将双线性问题转化为一系列线性问题，进而求解。这一章中，我们首先讨论利用何种变换将流体力学中几种非线性发展方程双线性化。同时，对于变系数方程，双线性化的因变量变换，和方程系数约束存在着耦合关系。我们的工作是寻求更广义的因变量变换和更弱化的约束，这样就能够减少求解过程中的限制，扩大解的应用范围。利用这种思路我们先后双线性化了流体中的受迫KdV方程、流体中的变系数五阶KdV方程、流体中的广义非等谱KdV方程、流体中的广义非等谱五阶KdV方程和流体、等离子体、光纤通信中的Hirota-Maccari方程，并给出了其双线性形式的解，这些双线性形式是以前没得到过的，或者形式上更为广义；并且基于双线性形式构造了受迫KdV方程和非等谱KdV方程Wronski行列式形式的解；根据一种解的假设，给出了受迫KdV方程和变系数五阶KdV方程另外一种形式的解。在这一章求得的解的表达式中，有两类参数：一类是方程的系数，另一类是求解过程中引入的参数，这两类参数分别会对孤子的传播和相互作用产生影响。在第三章中，我们将首先讨论上述方程中的变系数与流体中孤子传播的关系，定量和定性地确定变系数与流体中孤子速度、振幅、背景、宽度的关系。在我们研究的问题中，得到下列结论:孤子速度受色散系数、耗散系数、外力项的影响，在存在外力项的情况下，也受阻尼系数的影响；孤子振幅只受阻尼系数的影响；孤子背景受阻尼系数和外力项的影响；孤子宽度只受不均匀系数的影响。并且流体中孤子速度、振幅、背景、宽度通常相互耦合，使孤子的传播方式呈现出他们的叠加效果。第四章我们将讨论波数与流体中孤子相互作用模式的关系，这些相互作用模式包括弹性作用、非弹性作用、特殊结构等。在求解过程中引入的参数中有一种具有特别的作用，这种参数被称为波数。在我们研究的问题中，当波数不相等时孤子之间是弹性相互作用；波数相等时孤子之间是非弹性相互作用；当波数一部分相等，另一部分不相等时，会出现弹性和非弹性耦合的孤子相互作用；还有一种情况，通过改变波数的取值进而改变双曲余弦函数和余弦函数的相对比例，可以依次出现类双周期解、平行孤子解、孤子耦合对解等。在研究非弹性相互作用的过程中，我们还分析了一种特殊的“掩盖”效应，虽然是多孤子解，但是表面上只有两个孤子发生了融合，其它孤子消失了，并且波数在一定的取值范围内，图像几乎不会发生改变，我们利用渐近分析说明了出现这种情况的原因。我们也将分析变系数和波数耦合作用的情况，此时拟弹性相互作用、拟孤子融合、拟孤子分裂现象将会出现。第五章给出了流体中一些非线性发展方程的Backlund变换、Lax对和无穷守恒律。最后的结束语对全篇论文进行了总结，并列出了对未来工作的展望。