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一、简答题

1． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在

用算符的本征函数

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态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

为

2． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

3． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

4． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

时有确定的测值。

5． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

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物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

对整个空间积分也等于1。

如果对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

6． 写出电子在外电磁场【答案】

中的哈密顿量。

7． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

8． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

9． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

10．假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为其中

二、证明题

11．证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故

12．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

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与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。 试证明

的不确定关系

：

所以有：

同理，可得因此：

三、计算题

13．Q 表缘的基矢有两个：

算符有如下性质：

（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为

求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.

【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元

.

设其本证函数为则有由久期方程

对应本征函数为

对应本征函数为

解得

再代回

可得

（2）粒子的力学量由题意

可能取值即其本征值.

时，相应概率为时，相应概率为

14．设

是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.

在

表象中的的矩阵形式； 化简为粒子自旋算符的线性组合.

•

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（1）写出粒子的自旋算符（2）将述算符的乘积【答案】⑴