● 摘要
目前, 在物理学、生物化学、医学及一些新兴的自然学科相关实际问题的解决过程中, 模型已经占据了非常重要的地位. 科学家可通过模型来模拟一些试验和刻画一些自然现象. 在对大量的模型研究的过程中, 人们发现其中有不少模型可归结为反应扩散方程. 通过对反应扩散方程的研究我们可以更加科学地解释一些自然现象和一些生态问题, 从而更准确地进行预测和防范. 随着人们对反应扩散方程研究深入, 这方面的理论知识也在不断完善.
本文运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识, 特别是抛物型方程(组)和对应椭圆型方程(组)的理论和方法, 研究了一类带有交叉扩散项的Gause捕食-食饵模型和一类带有扩散项和B-D反应项的病毒模型.
本文的主要内容如下:
第一章研究了一类带有交叉扩散项的Gause型捕食-食饵模型在齐次 Neumann边界条件下非常数正解的存在性, 分为三部分: 第一部分利用最大值原理和Harnack不等式对正解的上下界做了先验估计; 第二部分利用积分的性质结合两个重要不等式ε-Yong不等式和Poincaré不等式证明了非常数正解的不存在性; 第三部分在先验估计的基础上运用Leray-Schauder度理论证明了非常数正解的存在性, 并且给出了正解存在的充分条件.
第二章研究了一类带有扩散项和Beddington-DeAngelis反应项的病毒模型在齐次Neumann边界条件下解的性质, 分为三部分: 首先, 运用了线性化理论给出了正解的先验估计; 其次, 利用赫尔维茨定理讨论了两平衡解的局部渐近稳定性; 最后, 通过构造上下解及其单调迭代序列的方法证明了无病平衡解的全局渐近稳定性.