2018年郑州大学联合培养单位新乡学院650量子力学之量子力学教程考研核心题库
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一、选择题
1． 一维自由电子被限制在x 和
处两个不可穿透壁之间
，
埃，如果
是电子最低能
态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）
I 【答案】C
【解析】
一维无限深方势阱中能级公式为
由题意，基态能量为
2． 角动量算符满足的对易关系为【答案】
为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出
3． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B
4． 设粒子处于态（ ）。
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则可知，
较高级能量与基态能量比值为
则第一激发态能量为_____，坐标和动量
的对易关系是_____。
为归一化的球谐函数，则的平均值为
【答案】B
5． 给出如下对易关系：
【答案】
6． 已知体系的哈密顿算符为
下列算符
与对易的有_____。
【答案】
二、简答题
7． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
8．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
9． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子
如果
对整个空间积分也等于1。
的对易关系.
对整个空间积分等于1，则
去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的
归一化。
10．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
11．现有三种能级【答案】一维谐振子．
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请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
12．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
13．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
14．写出电子在外电磁场【答案】
测不准关系为中的哈密顿量。
15．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
16．自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
依题意
三、证明题
17．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
18．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
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所以
为电子动量算符，算符定义为且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。
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