2018年山西农业大学资源环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
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知的基础解系，
即为
的特征向量
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故
f 在正交变换下的标准形为
3．
已知
其中E 是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵，
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量
； 也是矩阵的一个特征值；
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
4． 已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形
，并写出所用正交变换；
（Ⅱ）若A+kE:五正定，
求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为
A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量
.
是
1的线性无关的特
，
由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征
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