● 摘要
近年来, 一些学者在半群上定义偏序并对其性质进行了研究, 如*序, 减偏序等. 随着矩阵代数和算子代数研究的不断深入, 部分学者把这些结果引入到矩阵代数和算子代数中, 并以此来研究相关问题. 最近一些学者开始研究关于某种偏序的保持问题, 例如文献[1,2]. 另一方面, 我们知道线性保持问题也很重要, 因此考虑算子代数上保持减偏序的线性映射也是一个有趣的问题. 但是这种映射的核空间是什么呢? 我们不难发现对于核空间中的任一元素, 在减偏序下被这一元素控制的元素也都在核空间中. 故受文献[3]中C*-代数中正元集上关于经典偏序的遗传子代数的启发, 我们给出了减偏序遗传子空间的概念, 并进一步研究了它的特征, 从而得到了关于算子代数上保持减偏序的线性映射的一些结论. 全文分为三章, 各章主要内容如下:
第一章主要介绍了文章的研究背景及所要用到的符号, 基本概念和所要用到的一些结论.
第二章主要刻画了B(H)的减偏序遗传子空间的特征. 证明了B(H)的范数闭的子空间M是减偏序遗传子空间当且仅当存在投影P, Q#P(H)使得M#K(H)=PK(H)Q且#=PB(H)Q, 其中#是M的弱算子拓扑闭包.
第三章我们主要研究了B(H)上保持减偏序的线性映射的性质. 根据在第二章中得到的结论, 我们首先证明了保持减偏序的有界线性映射是单的. 然后又得到了长度为一的初等算子保持减偏序的充要条件, 即设A和B是B(H)中的非零算子,且对任意X#B(H)都有#(X)=AXB,则#保持减偏序当且仅当A和B*是下有界算子.