● 摘要
ñ1997年,王国俊教授基于蕴涵算子R0提出了修正的Kleene系统$overline{W},W,W_{k}¢,又于1998年引入了广义重言式的概念,对修正的Kleene系统的广义重言式类进行了深刻而细致的讨论,建立了广义重言式理论,为模糊逻辑提出了新的研究方向.此后,吴洪博教授在修正的Kleene系统中把广义重言式的概念进行了扩充和推广,并在此系统中引入广义语义MP规则与广义HS规则,取得了一些有意义的研究成果,使得我们对修正的Kleene系统有了更清楚的认识.
在多值逻辑系统的三种逻辑运算非($
ightharpoondown$)
,并($vee$),蕴涵($
ightarrow$)中,蕴涵算子的选取至关重要,不同的蕴涵算子从语义上构成不同的多值逻辑系统,其中左连续t-模的伴随是具有较好性质的蕴涵算子. 众所周知,与$R_{0}$型蕴涵算子相对应的$R_{0}$型t-模是左连续的,兰蓉基于$R_{0}$型t-模给出了一类带参数的[0,1]上的t-模$ast_{alpha}$及与之伴随的新的蕴涵算子$H_{alpha}$$(0leqalphaleq 1)$,进而建立了多值逻辑系统$H_{alpha}$.
多值逻辑系统$H_{alpha}(0<alpha<1)$推广了修正的Kleene系统，并且这些系统之间是彼此同构的.因此我们主要研究当$alpha=frac{1}{2}$时的多值逻辑系统 $H_{frac{1}{2}}$,以$H_{frac{1}{2}}$为赋值域利用广义重言式概念得到公式集$F(S)$的一个分划,接着讨论了系统 $H_{frac{1}{2}}$中的各类广义语义MP规则与广义语义HS规则,并把系统 $H_{frac{1}{2}}$中的相关结论推广到$H_{alpha}$$(0<alpha< 1)$中,之后讨论了基于系统$H_{alpha}$的蕴涵算子的三I算法以及还原性问题.
1994年美国数学家Foulis和Bennett引进了效应代数的概念,推广了正交模格,被看作量子逻辑的数学模型.这种抽象的效应代数虽然历史不长,然而它却引起了数学工作者和理论物理学工作者的极大兴趣.本文第三章讨论了效应代数与多种模糊逻辑代数系统的关系,使我们对效应代数有了进一步的了解,并且通过对效应代数的研究,从蕴涵的角度出发引入了偏蕴涵代数,证明了偏蕴涵代数与效应代数是两种不同形式的等价的代数结构,并讨论了它与MV代数之间的关系.