2016年渤海大学数理学院、新能源学院数学物理方法(同等学力加试)复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为短边旋转所得圆柱体体积最大.
2． 判定下列级数是否收敛. 如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
?
【答案】（1
）
且
（2）因对收敛.
（3）
敛，从而原级数绝对收敛.
（4）敛法知级数
发散，又
是交错级数，满足
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是发散的，
又
故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
由比值审敛法知级数
是交错级数，
满足
收敛，故原级数绝
因是公比的等比级数，故收
而是发散的，故由比较审
且
故由
莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
（级数发散。
3． 曲线弧
【答案】
由
当当因此
时, 时,
； ；
5
）
故
即原级数的一般项
当
由
于
时不趋于零，故该
上哪一点处的曲率半径最小? 求出该点处的曲率半径。
曲线
的曲率为
为K 的极大值点。
又驻点惟一, 故极大值点也是最大值点, 且K 的最大值为
此时曲率半径
最小,
故曲线弧
上点
上的曲率半径最小且曲率半
径为
4． 设f （x , y ）在闭区域
上连续，且
求f （x , y ）。 【答案】设
，则
从而
又
的面积
故得
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因此
在极坐标系中，有
因此
于是得
从而
5．
设星形线
，
上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在
原点0处有一单位质点，求星形线的第一象限的弧段对这质点的引力。
【答案】取参数t 为积分变量，变化范围为[0，π/2]，对应区间[t，t+dt]的弧长为
该弧段质量为
该弧段与质点的引力大小为
因此曲线弧对这质点引力的水平方向分量、铅直方向分量分别为
因此所求引力
6． 利用积分表计算下列不定积分
（1）（2）
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，即大小为，方向角为。
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