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一、计算题

1． 假定某垄断厂商面临的需求函数

。

（1）求利润最大时的产量、价格和利润。

（2）若每增加1单位产量，由于外部不经济（环境污染）会使社会受到损失，从而社会成本函数

试求帕累托最优的产量和价格应为多少?

（3）若政府决定对每单位产品征收污染税，税率应是多少才能使企业产量与社会的最优产量相一致?

【答案】（1）由己知可得该垄断厂商的利润函数为:

利润最大化的一阶条件为:最大时的产量为

此时价格为利润为

（2）从该产品的社会成本函数

。

可知，社会边际成本函数为:

，解得

，又

，故利润

，成本函数

（产量以吨计，价格以元计）

所以利润最大时的产量为100吨，价格是400元/吨，利润是10000元。

，代入有关参数可得:

垄断厂商利润最大化的条件为

解得均衡产量和均衡价格分别为Q=80，P=400。

可见，若考虑外部不经济，从帕累托最优的资源配置角度看，该厂商的最优产量是80吨，价格是440元/吨，即该工厂的产量应当减少，价格应当上升。

（3）要使企业产量与社会最优产量相一致，必须使企业的边际成本从400提高到440，因此税率应当是10%。

2． 假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1, 2, 3，同时该社会存在着两种商品，分别是x 和y 。经济学家Debreu 对这二个消费者的消费行为进行分析，他认为1, 2, 3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示:

①②③

;

，其中，其中

; 。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集;

（2）假如商品x 和商品y 的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x 和y 的最优消费量;

（3）消费者2和消费者3的偏好是一致的;

（4）现在假设商品x 和商品y 的价格分别是P 1和P 2，消费者2拥有I 单位货币，请计算他的消费选择;

（5）用公式和图像给出消费者3对于x 商品的收入一消费路径。

【答案】（1）根据序数效用理论，无差异曲线是维持效用不变的商品组合的轨迹，偏好的上等值集就是无差异曲线右上方部分。根据消费者1的效用函数，其无差异曲线及上等值集如图所示。

消费者1的无差异曲线及上等值集

（2）消费者1的预算线方程:2x+3y=120。

由消费者1的效用函数，可得出商品x 和y 的边际效用，即MU x =y，MU y =x。 根据消费者效用最大化的一阶条件

，可得：

。

将上式代入预算线方程，可得:x=30, y=20。 即消费者1对x 和y 的最优消费量为（30, 20）。

（3）根据效用函数的性质:效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可得:

令

，因此

。 。

因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏

好是一致的。

（4）消费者2的预算线方程:P 1x+P2y=I。

由消费者2的效用函数，可得出商品x 和y 的边际效用，即根据消费者效用最大化的一阶条件将上式代入预算线方程，可得:即消费者2对x 和y 的最优消费量为

，可得:，

，

。 。

。

，

。

（5）消费者3的偏好和消费者2的偏好是一致的，因此消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。

消费者3的恩格尔曲线方程为:的收入一消费路径，如图所示。

，其中x 的价格P 1为常数。恩格尔曲线方程就是x 商品

消费者3对于商品x 的收入—消费路径

3． 一垄断厂商面临的需求为P （Y ）=100-2Y，其边际成本为20a

（1）垄断价格和产量是多少? （2）社会最优的价格和产量是多少? （3）由于垄断而造成的效率损失为多少?

（4）假若垄断厂商能够区别任一顾客，并对每一顾客收取最高可能的价格，这时，产量为多少? 效率损失为多少?

【答案】（1）垄断厂商的利润函数为:

π=（100-2Y ）Y-20Y

利润最大化的一阶条件为:

解得:Y=20。

将Y=20代入P （Y ）=100-2Y，可得:P=60。