● 摘要
算子代数上的保持问题就是研究保持算子代数中的某种特征不变的映射.其研究结果表明,在许多情形下,
这样的映射是代数同态或代数反同态.从而揭示了算子代数的固有性质以及与其上映射的联系,使人们进一步加深对算子代数
的认识和理解.其研究成果不仅丰富了算子代数和泛函分析原有的结论,而且在系统论和量子力学中有其实际的应用价值.
${mathcal{B}}(X)$作为最基本的算子代数,其上保持问题的研究是其它算子代数上保持问题研究的基础.本文就是对
${mathcal{B}}(X)$上保反正交性的可加映射和保交换零积的可加映射进行了研究,得到下列结果:
1.刻画了$cal B(H)$到$cal B(K)$上保反正交性,保Jordan正交性的可加映射,其中$cal B(H)$和$cal B(K)$是由Hilbert空间
$cal H$和$cal K$上的有界线性算子全体组成的Banach代数.
若$Phi:cal B(H)longrightarrow
B(K)$是双边保反正交性的可加满射,
使得$Phi(I)=I,$并且对每 个一秩幂等算子$Pin cal B(H)$都有$Phi({mathbb{F}}P)subseteq {mathbb{F}}Phi(P).$
则$Phi$是$cal B(H)$上的$ast -$反同构或共轭
$ast -$反同构.与保反正交性的假设条件相同,对于保Jordan正交性,得到$Phi$是下列形式之一：$ast -$同构,共轭
$ast -$同构,$ast -$反同构,共轭$ast -$反同构.
2.研究了$cal B(H)$ 上保交换零积的可加映射,其中$cal B(H)$是由Hilbert空间$cal H$上的有界线性算子全体组成的Banach代数.
首先给出了在有限维情形下,若$Phi$是保交换零积的可加满射,
使得$Phi(I)=I,$并且对每 个一秩幂等算子$Pin M_{n}$都有$Phi({mathbb{F}}P)subseteq {mathbb{F}}Phi(P)$则$Phi$是一个
自同构或反自同构.
进一步给出了无限维情形下,若$Phi$是保交换零积可加满射,则$Phi$是非零数乘一个环同构或一个环反同构.
3.讨论了$mathcal{A,B}$ 上保交换零积的可加映射,其中$mathcal{A,B}$是Banach空间X上的标准算子代数.
假设$Phi:cal A
longrightarrow B$是一个保单位的可加满射.若$Phi$保交换零积并且对所有的一秩幂等算子$Pin cal A$都有$Phi({mathbb{F}}P)subseteq
{mathbb{F}}Phi(P)$和$Phi(P)
eq 0$成立.则$Phi$有下列四种形式之一:代数同构,共轭代数同构,代数反同构,
共轭代数反同构.