● 摘要
模糊图论是欧拉图论的推广,目前模糊图论的应用领域已经极为广泛,比如聚类分析、系统分析、运输系统、数据理论、network分析以及信息理论等等.区间值模糊图和双极值模糊图作为模糊图论的两种重要推广在某些应用问题上要比欧拉图论和模糊图论模型更加具有精确性,灵活性和兼容性.本文主要关注区间值模糊图和双极值模糊图中可以用格上拓扑思想和方法尝试研究的一些问题(包括运算、范畴方面、非标准分析中的个体集与强个体集).具体内容如下:
第一章主要介绍了区间值模糊图、双极值模糊图和范畴论中的基本知识.
第二章主要研究了区间值模糊图运算方面的问题.首先,对文献[57]中关于区间值模糊图的一些错误做出了修正.其次,给出了区间值模糊图的直接乘积、半强乘积、强乘积以及字典乘积四种新的乘积运算,从区间值模糊图的截图的角度来说明(完全)区间值模糊图的笛卡尔积、合成、并、联、直接乘积、半强乘积、强乘积以及字典乘积的合理性,并证明了强区间值模糊图类对笛卡尔积和合成运算封闭,但对并运算和联运算不封闭,给出它们对并运算和联运算封闭的条件,研究合成、并、联运算和补运算之间的关系.最后,给出区间值模糊图在笛卡尔积与合成运算下分解的充分条件和必要条件,并证明区间值模糊图能够在并运算下分解以及强区间值模糊图能够在联运算下分解,另外模糊图作为一种特殊的区间值模糊图,给出模糊图在直接乘积、强乘积以及字典乘积这三种乘积运算下分解的充分条件和必要条件.
第三章主要研究了区间值模糊图范畴方面的问题.首先,定义了五个范畴IVFG, ReIVFG,SyIVFG, TrIVFG和FiIVFG,讨论了它们之间的关系,证明了范畴IVFG,ReIVFG, SyIVFG和TrIVFG作为Set上的具体范畴是拓扑的,范畴FiIVFG作为FiniSet上的具体范畴是拓扑的,构造了这五个范畴的初始结构以及终结构,给出了它们中乘积和余积的构造以及范畴IVFG中等子和余等子的构造.其次,定义了区间值模糊图-余塔,有限区间值模糊图-余塔,自反区间值模糊图-余塔, 对称区间值模糊图-余塔和传递区间值模糊图-余塔的概念,以及范畴IVFG^C,ReIVFG^C, SyIVFG^C, TrIVFG^C和FiIVFG^C,建立了所有区间值模糊图(或有限区间值模糊图,自反区间值模糊图, 对称区间值模糊图,传递区间值模糊图)与区间值模糊图-余塔(或有限区间值模糊图-余塔, 自反区间值模糊图-余塔,对称区间值模糊图-余塔,传递区间值模糊图-余塔)之间的一一对应,证明了范畴IVFG,ReIVFG, SyIVFG, TrIVFG和FiIVFG分别与IVFG^C，ReIVFG^C,SyIVFG^C, TrIVFG^C和FiIVFG^C同构.
第四章主要首先定义了双极值模糊图的三种乘积运算:直接乘积,半强乘积,强乘积,证明了两个强双极值模糊图的直接乘积,半强乘积,强乘积均为强的,但反之却不成立,并给出了反例.其次,给出了一种新的双极值模糊图的补的定义,说明这种新的补定义弥补了旧的定义的缺陷:任意双极值模糊图的补的补不一定是其自身,且一个双极值模糊图与其补不一定具有相同数量的自同构.并讨论了这种补的一些性质.
为了便于非标准分析和范畴论的思想和方法在格值数学(包括区间值模糊图和双极值模糊图)和超网络理论中的结合应用,第五章研究了非标准分析中的最基础的个体集与强个体集概念在范畴方面的性质. 证明了个体集范畴、强个体集范畴与集合范畴在许多方面是相似的.例如,具有任一给定基数的个体集和强个体集是存在的;个体集和强个体集对于子集、幂运算封闭;非空个体集范畴和非空强个体集范畴都是完备的monoidal topoi.构造了超结构函子V和超幂函子H_{F}并得到了如下结果:(1)对任意非空强个体集X和Y, g:Xlongrightarrow Y是单射(resp.,满射)当且仅当 V(g)是单射(resp.,满射); (2)对任意集X和Y,g:Xlongrightarrow Y是单射 (resp.,满射)当且仅当 H_{F}(g)是单射 (resp.,满射).