● 摘要
自然界和工程技术中都存在着大量的时滞因素，例如，在生态系统中物种的成熟期，在工程技术系统中由于物理和化学过程以及信号传输所需的时间等。时滞微分方程所描述的非线性动力系统是近年来国内外非线性动力学研究的热门课题。具有时滞因素的非线性动力系统的特征之一是系统的演化不仅与当前状态有关，而且与过去一段时间的状态有关。时滞微分方程属于无穷维动力系统的范畴。通常用Banach 空间上的连续函数来描述系统变量的初始状态。目前，含有有限个离散时滞量的时滞微分方程，通常是把时滞量作为参数，研究滞量变化对平衡点稳定性的影响，以及失稳条件下带来的多种分岔行为。方程中的系数通常认为是与时滞量无关的常数或关于时间的周期函数。本文针对一些受控力学系统和具有世代重叠性质的生物种群系统的特点，在系统参数中计及时滞因素，得到一些具有时滞依赖系数影响的非线性时滞微分方程，并详细研究了这些系统的稳定性和分岔方面的非线性动力学行为。研究结果有助于更深入地探讨时滞微分方程的复杂动力学行为及其产生机理，并为受控系统的时滞反馈控制器设计提供新的思路。第一章介绍了本论文的研究目的及意义、国内外对时滞动力系统的研究现状、主要研究方法，以及本文的主要内容。第二章针对一类具有时滞依赖系数的时滞微分方程，给出了在双参数平面内判定系统稳定性及分析稳定性切换的几何方法。将此方法应用于具有时滞依赖系数且有一阶特征方程的时滞微分方程，结果表明由系统平衡点的稳定性切换得到唯一的稳定性区域。第三章针对两类具有时滞依赖系数的种群生态系统，研究了时滞量变化对系统稳定性行为的影响及双参数平系统绝对稳定的条件，并在非绝对稳定的情形下，得到了多次稳定性切换的临界值。数值模拟结果证实了理论预测的该系统的稳定性切换现象以及由Hopf 分岔产生的稳定周期解。在季节变化等外界周期性因素影响下，进一步模拟了该系统的多种多周期解等丰富动力学行为。面内的Hopf 分岔曲线，并且得到了多个稳定区域。研究了第四章针对具有时滞依赖系数的反馈控制系统，应用理论分析和几何图形相结合的方法，研究了双参数变化区域内的多个稳定区域和Hopf 分岔等。在“死区”的边界上得到了双Hopf 分岔的阈值，发现了一些共振、非共振的双Hopf 分岔现象。应用数值方法，在平方项反馈控制下得到了Stuart-Landau 闭路控制系统的共存的稳定周期解。进一步通过控制反馈增益系数得到了逆相周期解，环面解等，并模拟了环面的破裂过程。针对具有时滞依赖系数的Van der pol 反馈控制系统，模拟了在参数变化下得到的稳定环面和环面失稳而产生的混沌解，并显示了转迁时所经历的半稳定环面解。第五章应用中心流形约化方法，在双Hopf 分岔时的双参数小扰动条件下对具有时滞依赖系数的线性反馈的Stuart-Landau 系统的规范形进行了讨论，对二次Hopf 分岔产生的动力学现象进行了分类，划分了不同的动力学特性区域。