● 摘要
谱方法在最近的五十年的时间中得到了快速的发展，它们被成功地应用到各个领域的数值计算当中，如热传导方程，流体力学，量子力学等领域，如今，对于偏微分方程的数值求解，谱方法的作用可以与有限差分法和有限元法相匹敌。谱方法利用各种无限可微的全局函数作为试探函数。其最大的优点就是高精度，即所谓的“无穷阶”收敛。Legendre多项式有很好的逼近性质，而且它不受边界值的影响。利用它们所得到的结果在边界处比在内部更好，它适合于解决解在边界处迅速变化的问题，适用于求解零边界条件的偏微分方程的初边值问题。而且它们也能通过FFT进行计算，因此被广泛地应用于解决偏微分方程的初边值问题。非线性Schrödinger方程在许多物理问题中被发现，并且得到了广泛的应用，例如在等离子物理、非线性光学以及流体力学等领域中。人们应用各种方法来讨论这种方程解的存在性、正则性并用各种数值方法求解这类方程，如有限差分法、有限元法和谱方法等。本文讨论了一类非线性Scrödinger方程的Legendre谱方法，首先构造了半离散和全离散谱逼近格式，对逼近格式的解进行了先验估计，证明了解的一阶范数的有界性，并通过误差估计证明了离散格式的收敛性。在全离散格式中，我们采用了三层显式格式。最后构造了全离散拟谱逼近格式并对其解进行了误差估计。从结果来看，这些格式具有较高的收敛速度和收敛阶。