● 摘要
这篇论文主要研究了两类数学模型, 一类是综合国力模型, 一类是Holling-Tanner捕食食饵模型. 对于这两类模型的研究, 可以借助于种群动力学系统的研究方法, 对这两类动力系统的解进行分析. 种群动力系统是描述种群与种群、种群与环境之间相互竞争, 相互作用的动力学关系的数学模型. 关于此类模型的研究, 引起国内外学者的广泛的关注, 并且已经取得了许多有价值的成果.
本文运用反应扩散方程, 非线性分析的知识, 尤其是抛物型方程组和对应的椭圆方程组的研究方法, 讨论了在齐次Neumann边界条件下的一类综合国力模型$$left{ egin{array}{ll} frac{ extnormal{$partial$} u}{ extnormal{$partial$} t}=Delta u+au(1-u)-v, & (x,t)in Omega imes (0,+ infty),\ frac{ extnormal{$partial$} v}{ extnormal{$partial$} t}=dDelta v-bv+c(omega-u)u, & (x,t)in Omega imes (0, + infty),\ u(x,0)=u_{0}(x)geq0, v(x, 0)=v_{0}(x)geq0, & (x,t)in Omega imes (0,+ infty),\ frac{ extnormal{$partial$} u}{ extnormal{$partial$} n}=frac{ extnormal{$partial$} v}{ extnormal{$partial$} n}=0 , & xinpartialOmega end{array}
ight.$$和一类在齐次Neumann边界条件下的Holling-Tanner捕食食饵模型$$left{ egin{array}{ll} frac{ extnormal{$partial$} u}{ extnormal{$partial$} t}=d_{1}Delta u+au-u^{2}-frac{uv}{m+u}, & (x,t)in Omega imes (0,+ infty),\ frac{ extnormal{$partial$} v}{ extnormal{$partial$} t}=d_{2}Delta v+bv-frac{v^{2}}{ru}, & (x,t)in Omega imes (0, + infty),\ u(x,0)=u_{0}(x)geq0, v(x, 0)=v_{0}(x)geq0, & (x,t)in Omega imes (0,+ infty),\ frac{ extnormal{$partial$} u}{ extnormal{$partial$} n}=frac{ extnormal{$partial$} v}{ extnormal{$partial$} n}=0 , & xinpartialOmega. end{array}
ight.$$
文中利用最大值原理得到了正解的先验估计, 再利用Turing理论得到了正常数平衡态的Turing不稳定性与一致渐近稳定性. 运用局部分歧理论证明了正常数平衡解产生分歧, 判断了局部分歧可以延拓成为全局分歧. 利用比较原理构造上下解的方法讨论了正平衡态解全局渐近稳定的条件.
本文主要内容如下:
第一章研究了一类具有扩散的综合国力模型. 首先, 利用最大值原理给出了正解的先验估计. 其次, 利用算子谱理论及Turing理论得到了常数平衡解的Turing不稳定性及其一致渐近稳定性. 再次, 运用分歧理论和度理论的知识, 以扩散系数$d$为分歧参数, 讨论了在一定条件下系统在正常数平衡态解附近的分歧现象. 证明了在点$(d_{j},m U^{ast})$处可产生局部分歧$Gamma_{j}$, 并给出了分歧点附近解的结构.最后, 利用全局分歧理论得出局部分歧$Gamma_{j}$可以延拓为全局分歧$Gamma$.
第二章研究了一类具有扩散项的Holling-Tanner捕食食饵模型. 讨论了该模型在齐次Neumann边界条件下的正常数平衡解的全局稳定性. 利用比较原理构造上下解的方法判断正常数平衡态的全局渐近稳定性. 最终得到了该模型正平衡态全局渐近稳定的条件.
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