● 摘要
数字图像恢复广泛应用于航海、航天和生物医学等领域. 该技术首先根据边缘模糊等图像退化因素建立相应的数学模型, 其次沿着图像降质的逆过程恢复图像本来面貌. 然而污染系统(矩阵)通常含有许多接近于零的奇异值, 简单利用其逆过程进行恢复常为病态问题. 因此结合原始图像的先验信息定义正则解成为了求解此问题的有效方法之一. 通常, 该正则解恰为含有正则项的能量函数的最小值点, 相关恢复方法具有较好的恢复性能, 而正则项分为光滑正则和非光滑正则. 作为典型的光滑正则, 含有Tikhonov 正则的优化问题具有计算成本低等优点, 但其所恢复的图像通常过度光滑, 不具有很好的边界保护能力. 尽管非光滑正则可能引起许多数值计算的困难, 但大量理论和数值实验结果表明该类正则可以有效地保护图像边界, 因此得到了广泛关注. 然而, 虽然次梯度法、增广拉格朗日法、GNC法等可求解非光滑图像恢复问题, 但能量函数中数据拟合项与势能函数的选择等均对图像恢复质量及算法的效率具有重要影响. 因此, 为进一步提高恢复性能, 本文研究了求解非光滑图像恢复的方法. 主要工作如下:
1. 当能量函数中数据拟合项为l_1-范数、势能函数非光滑非凸时, 其对具有整齐边界且加性噪声满足均匀、椒盐、拉普拉斯等非高斯分布的图像具有较好的恢复性能. 然而不可微性会引起许多数值计算困难. 本文以逐步拟合及变量转换思想为基础, 通过引进辅助变量对原问题进行等价转换, 并对不同目标变量交替优化, 提出了一个求解该能量函数的GNC方法.
2. 针对单独使用GNC和增广拉格朗日对偶方法处理非光滑图像恢复问题的不足, 通过转换原始优化问题为等式约束优化问题, 提出了一种基于上述两种方法的图像恢复方法, 并严格证明了其对偶收敛性. 该方法很好地保留了增广拉格朗日对偶法和GNC方法的优点, 不仅可以为原始问题获得具有较高性能的初始值, 而且在零对偶间隙时能够保证非光滑优化问题收敛于对偶解. 此外, 通过对偶迭代得到了一个自适应能量函数. 实验结果表明该方法具有较高的图像恢复性能.
3. 在求解l_1-TV（Total variation）和l_2-TV图像恢复问题时, 交替方向法由于对不同目标变量进行交替优化而使得搜索方向不够精确. 为克服这一缺陷, 本文以子空间优化为基础, 提出了一种提高交替方向法优化性能的方法, 并严格证明了其收敛性. 由于该方法利用能量函数的泰勒展式及当前和先前搜索方向的线性组合对当前搜索方向进行有效矫正, 从而克服了基本交替方向法搜索方向不够精确的缺陷. 实验结果表明所提方法可以有效地提高基本交替方向法的计算性能.
4. 通过融合Tikhonov和不同阶非光滑非凸正则, 提出了一种GNC图像恢复方法. 该方法不仅能够很好地恢复图像光滑区域及边界, 而且可以有效减少过度光滑化和楼梯效应. 实验结果表明了该方法的良好恢复性能.
5. 提出了一种新的近似势能函数构造方法. 该方法使得近似势能函数与原势能函数具有更加灵活的相似度. 实验结果表明新近似势能函数可以提高GNC图像恢复方法的恢复性能.
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