青岛大学高等代数2009-2014考研真题汇编
● 摘要
青岛大学2009年硕士研究生入学考试试题
816(共1页) 科目代码：科目名称：高等代数
1.(30分) 设
100 1−10 −200 010 , B = −120 , C = 010 , D = 100 A = 020 03 00−1 0 001 002 问：B , C , D （要说明理由）
(1)哪些与A 等价；
(2)哪些与A 合同；
(3)哪些与A 相似.
2.(30分) 已知二次曲面x 2+ay 2+z 2+2bxy +2xz +2yz =4可以经正交变换 x ξ y =P η 化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a , b 的值和正交矩阵P . z ζ
3.(30分) 设T 是由T (x , y , z ) =(0, x , y ) 所给的R 3→R 3的线性变换，试求T , T 2, T 3的特征多项式.
4.(30分) 设σ是欧氏空间V 中的线性变换, 试证下面命题等价：
(1)σ为正交变换;
(2)σ保持向量长度不变, 即对任意α∈V , (α) =;
(3)若ε1, ε2, L , εn 为标准正交基, 则σ(ε1), σ(ε2), L , σ(εn ) 也是标准正交基.
5.(30分) 设V 表示数域P 上全体2级矩阵组成的线性空间，定义V 的一个变换A 如下：
1−1 A (x ) = x , x ∈V −11
(1)证明：A 是线性变换；
10 01 00 00 (2)求A 在基E 11= , E =, E =, E = 12 00 21 10 22 01 下的矩阵；00
(3)求A 的值域AV ，并给出它的维数及一组基.
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